利用合情推理策略推广微积分题

著名数学家、教育家G.Polya是合情推理专家,他主张数学教育的主要目的之一是发展学生的解决问题的能力,教会学生思考.合情推理是一种可能性推理,它是根据人们的经验、知识、直观和感觉等得到一种可能性的结论的推理.合情推理的结果是猜想,数学上称为数学猜想.我们知道借助于论证推理可以肯定我们的数学知识,而借助于合情推理可以为我们的猜想提供依据.数学家的创造性工作成果是论证推理(即证实)；但这个证实是通过合情推理、通过猜想来发现的G.Polya指出“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证推理；这是他的专业也是他那门学科的特殊标志.然而为了取得真正的成就他必须学习合情推理；这是他的创造性工作赖以进行的那种推理.”可以这样说合情推理几乎无处不在,它在数学研究中的作用更是不可低估.目前我国有很多人学习数学,他们掌握、储存了不少数学知识和数学技巧,这对于我国人口均匀素质的提高无疑是有益的.然而,如何使这些储存的东西产生更多(甚至更大)的使用价值呢?这是一个有现实意义的问题,值得数学研究工作者思考和研究.例如,对学生而言,这种进一步的思考是可以实施的,同时持续的思考(甚至研究)是一种更为有效的再学习,它往往会产生“熟能生巧”的效果.在这个再学习(甚至可能是“升华”)的过程中,教师的引导(包括提供一些可以类比、模仿的引导材料)是极为重要的.本论文将在这一方面提供一点引导性材料(其它材料见[2,3,4]等)以供大家一起学习.本论文利用合情推理方法,从一道微积分题出发,一步一步地去发现一个新的拓扑定理.说明了合情推理方法在高等数学学习中有着非常重要的地位.本论文内容分为三个章节.第一章先容合情推理在大学数学学习中的应用.首先,先容常用的合情推理方法.例如,归纳法、一般法、特殊化、类比、RMI原则等.其次,通过一个熟悉的命题我们把它从实数空间推广到拓扑空间去.第二章是本论文的重点,通过一道微积分题的推广,阐述了合情推理的具体应用,从而得到一些较好的结论和定理.为更清楚展示合情推理方法的应用,本章分为三个部分.第一部分先容定理1所需的预备知识.第二部分重点阐述了定理的形成过程及其得到的结果.通过一道我们非常熟悉的数学分析中的定理,利用类比、归纳、一般化等方法,推广得到了一般拓扑学中的一些已知结果及HausdorffL-闭包空间的若干个等价刻画.第三部分是本章的注记,这一章里重点通过实例说明了合情推理方法在数学学习中相当重要.第三章是对合情推理的相关问题的思考.论述了合情推理与论证推理的关系.提倡在教学中给予学生猜想的空间.最后,希望大家在高等数学学习中更多关注合情推理,更多的去利用它.【关键词】：合情推理序列极限拓扑空间Hausdorff分离性L-闭包空间论证推理
【论文提纲】：摘要3-5Abstract5-8前言8-10第一章合情推理方法在大学数学学习中的应用10-16§1.1合情推理方法先容10-13§1.2合情推理在数学中的应用举例13-16第二章利用合情推理方法推广一道微积分题16-26§2.1预备知识16-17§2.2主要结果及定理的形成过程17-22§2.3注记22-26第三章相关问题及其思考26-30§3.1合情推理与论证推理的关系26-27§3.2在教学中教学生猜想27§3.3在高等数学学习中更好地利用合情推理方法27-30总结30-32参考文献32-34致谢34-36攻读硕士学位期间的研究成果36攻读硕士学位期间获奖情况36