谈导数简析导数不足中构造辅助函数常用办法

更新时间:2022-2-2 点赞:5425 浏览:13129 作者:用户投稿原创标记本站原创

导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题,年年必考,在这道压轴的大题中,解答时常涉及构造函数,我简单谈一下常用的构造方法.

一、作差法(直接构造法)

这是最常用的一种方法,通常题目中以不等式形式给出,我们可以作差构造新的函数,通过研究新函数的性质从而得出结论.当然,适合用这个方法解的题目中,构造的函数要易于求导,易于判断导数的正负.

1.设x∈R,求证ex≥1+x

构造函数f (x)=ex-1-x,对函数求导可得f ′ (x)≥ex-1,当x≥0时,f ′ (x)≥0,f (x)在[0,+∞)上是增函数,f (x)≥f (0)=0,当x<0时,f ′ (x)f (0)=0,因此,当x∈R,f (x)≥f (0)=0,即ex≥1+x

2.x>-1,求证1-■≤ln(x+1)≤x

以证明右侧为例,设f (x)=x-ln(x+1),f ′ (x)=1-■(x>-1)
令f ′ (x)=0,x=0,当x∈(-1,0)时,f ′ (x)0,函数递增,所以x=0时,函数取最小值f (0)=0,∴f (x)≥0.

二、先去分母再作差

有的问题直接作差构造函数后,求导非常麻烦,不具有可操作性,可先去分母再作差.

3.x>1,求证■<■

分析:设f (x)=■-lnx,f (x)=■-■-lnx,f ′ (x)=■x-■+■x-■-■,f ′ (x)=■≥0,f (x)≥f (1),f (1)=0,∴f (x)>0

三、先分离参数再构造

4.(哈三中2012期末试题21)已知函数f (x)=xlnx,g (x)=

-x2+ax-3
(1)求f (x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f (x)≥g (x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明对一切x∈(0,+∞),都有lnx>■-■成立.
分析:(1)略 (2)2xlnx≥-x2+ax-3恒成立,
∵x>0,原不等式等价于a≤2lnx+x+■.
令g (x)=2lnx+x+■,则g′ (x)=■,
所以g (x)的最小值为g (1)=4,即a≤4
(3)利用前面提到的第二种方法,先去分母再构造,目的就是使得构造的函数易于求导,易于分析.
原不等式等价于xlnx>■-■,令F (x)=xlnx,G (x)=■-■
则可求F (x)的最小值为F (■)=-■;G (x)的最大值为G (1)=-■,所以原不等式成立.

四、从条件特征入手构造函数证明

例5.若函数y=f (x)在R上可导且满足不等式xf ′ (x)>-f (x)恒成立,且常数a,b满足a>b,求证:af (a)>bf (b)
分析:由条件移项后xf ′ (x)+f (x),可以构造函数F (x)=xf (x),求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ (x)>f (x),则移项后xf ′ (x)-f (x),要想到是一个商的导数的分子,构造函数F (x)=■,求导去完成证明.

五、由高等数学中的结论构造

利用泰勒公式,可以把任意一个函数用幂函数近似表示.
f (x)=f (x0)+f ′ (x0)(x-x0)+■(x-x0)2+…+■(x-x0)n+…
当f (x)=lnx,取x=1,则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1

6.数列{an},a1=1,an+1=lnan+an+2,求证an≤2n-1

分析:设f (x)=lnx-(x-1),f ′ (x)=■-1=■,当x∈(0,1),
f ′ (x)>0
当x∈(1,+∞),f ′ (x)<0,f (x)≤f (1)=0 ∴lnx≤x-1
lnan≤an-1,an+1=lnan+an+2≤2an+1,∴an+1+1≤2(an+1)
迭代,1+an≤2(1+an-1)≤…≤2n-1(1+a1)=2n
∴an≤2n-1
例7.(2008年山东理21)已知函数f (x)=■+aln(x-1)其中n∈N*,a为常数.
(1)当n=2时,求函数f (x)的极值;
(2)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f (x)≤x-1
分析(2):当a=1时,f (x)=■+ln(x-1).
当x≥2时,对任意的正整数n,恒有■≤1,
故只需证明1+ln(x-1)≤x-1.
令h (x)=x-1-[1+ln(x-1)]=x-2-ln(x-1),x∈[2,+∞),
则h ′ (x)=1-■=■,
当x≥2时,h ′ (x)≥0,故源于:大学生毕业论文www.618jyw.com
,h (x)在[2,+∞)上单调递增,
因此x≥2时,当h (x)≥h (2)=0,即1+ln(x-1)≤x-1成立.
故当x≥2时,有■+ln(x-1)≤x-

1.即f (x)≤x-

另外,高等数学中有一个极限结论:■■=1
由以上极限不难得出,当x>0时,
sinx所以函数 f (x)在(0,+∞)上单调递增,f (x)>f (0)=0.所以x-sinx>0,即sinx导数问题中构造辅助函数还有其他的方法,例如变更主元法,二次求导再构造,难度偏大,这里先不做详解.
(作者单位 杨光:黑龙江省哈尔滨师范大学数学系 关键:黑龙江省大庆市第四中学)
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