函数,浅谈与导数有关高考试题

更新时间:2024-03-17 点赞:30619 浏览:142450 作者:用户投稿原创标记本站原创

高考对导数的考查,以导数为工具,融函数、导数、不等式、方程等知识于一体,演绎证明、运算推理等理性思维,解决单调性、极值、最值、切线、方程的根、参数的范围等理由,这类题难度很大,综合性强,内容新,背景新,策略教学论文新,是高考命题的宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形思想、转化与化归思想。就高考中对导数的考查分类整理,希望能对广大考生。

一、以导数为工具探讨函数的图象、剖析式、单调性、极值、最值等理由

例1 如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,A,B,C的坐标为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=[CD#4];
limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=[CD#4](用数字作答)。
解:f(0)=4,f(4)=2;由导数的几何作用小学数学教学论文知,limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=-2。
例2 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数。
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值。
解:(Ⅰ)由题意得f′(x)=3ax2+2x+b。
g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b。∵函数g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],以而3a+1=0,b=0,解之,得a=-13,b=0,∴f(x)的剖析表达式为f(x)=-13x3+x2。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)=-13x3+2x,所以g′(x)=-x2+2,令g′(x)=0,解之得x1=-2,x2=2,则当x<-2或x>2时,g′(x)<0,以而g(x)在区间(-∞,-2),[2,+∞)上是减函数;当-2<x<2时,g′(x)>0,以而g(x)在区间[-2,2]上是增函数。
由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1,2,2时,而g(1)=53,g(2)=423,g(2)=43。g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)=423,最小值为g(2)=43。

二、含参数导数理由的三个讨论点

(1)导函数若为二次函数,讨论导函数开口方向。
例3 已知函数f(x)=kx+1x2+c(c>0且c≠1,k∈R)恰有极大值点和极小值点,是x=-c。
(Ⅰ)求函数f(x)的另极值点;
(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M-m≥1时k的取值范围。
解:(Ⅰ)∵f′(x)=-kx2-2x+ck(x2+c)2,x=-c是函数f(x)的极值点,
∴f′(-c)=0,即c2k-2c-ck=0。
∵c>0,∴ck-2-k=0,可知k≠0,
c=1+2k,即k=2c-1,由f′(x)=0得kx2+2x-ck=0,此方程的根为x=-c,另根由韦达定理计算为x=1或x=c-2k,∴函数f(x)的另极值点为x=1(或x=c-2k)。[TP2-n1

7.tif,Y#]

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,k=2c-1,现画函数图理解。∵c>0且c≠1,则图象如图所示,∴k0。
①当k<-2,即00,当-c又M-m≥1,∴-k22(k+2)-k2≥1,
即k2+2k+2k+2≤0,解之,得k<-2满足。
②当k>0,即c>1时,当x1时,f′(x)<0,当-c综上可知,所求k的取值范围为(-∞,-2)∪[2,+∞)。
(2)导函数为零时有实根或实根在定义域内。
(3)讨论导函数为零时根的大小。

三、将理由反过来考查,已知函数的单调性、极值等性质求参数的取值范围

例4 已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R。设函数f(x)在区间-23,-13内是减函数,求a的取值范围。(实数a的取值范围是[2,+∞),详解略)
(作者单位:江西省新建二中)



相关文章
推荐阅读

 发表评论

共有3000条评论 快来参与吧~