切线,导数运用典型错解剖析写作

更新时间:2024-01-25 点赞:25973 浏览:119282 作者:用户投稿原创标记本站原创

导数工具,其求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程时极为方便.在教学中,导数的运用还有着误区.
1 过点的切线与图象上某一点的切线混淆
例1 曲线f( x )=4x的切线过点?
??83,
43???,
求切线方程.
错解 ∵f’( x )=?4x?2,∴f’?
??83???=1
96,
∴过点
???83,
34???的
切线的斜率为
196,
由直线方程的点斜式可得切线方程为y?43=
196???x?83???,
即:27x?48y?8=0.剖析 错误的理由是点
???83,
3
4???在曲线上,以而由导数求出该点的切线斜率,错误的.把点
???83,
43???代
入曲线方程,验证该点不在曲线上,所以
应先求出切点坐标,再求切线方程.所以在求曲线的切线应先判断给出的点在曲线上.
正解 设切点为(x0,y0),则y0
=x40
…①
∵f’( x )=?4x?2, ∴f’( x0)=?4x0?

2.∴切线方程为:y?y0

=?4x0?2(x?x0),
又该切线过点
???83,
43???,
∴43?y0
=?4x0?2?
??3
8?x0???…
②,
由①②可得
???xy
00
==22或
???xy
00
==14,
.
∴切线方程为:x+y?4=0或x+4y?8=0.
2 f′( x0)为极值的充要条件理解不清
例2 函数f( x )=x3+ax2+bx+a2在x =1处有极值10,求a,b的值.
错解 f′( x )=3x2+2ax+b,由题意知f′(1)=0,且f(1)=10,即2a+ b +3 = 0,且a2+a+b +1 = 10,解之得a =4,b =?11,或a =?3,b =3.
剖析 错误的理由是把f′( x0)为极值的必要条件当作了充要条件,f′( x0)为极值的充要条件是f′( x )=0且x0附近两侧的符号相反,所面加上:当a =4,b =?11时,
f′( x )=3x2+8x?11(3x+11)(x?1),
在x =1附近两侧的符号相反,∴a =4,b =?11.
当a =?3,b =3时,f′( x )=3(x?1)2, 在x =1附近两侧的符号相同,所以a =?3,b =3舍去.
3 函数单调的充要条件理解不清
例3 已知函数f( x )=a xx++21在(? 2,+∞)内单调
递减,求实数a的取值范围.错解f′( x )=(2xa+?21
)2
,由函数f( x )在(? 2,+∞)内单调递减知f′( x )≤0在(? 2,+∞)内恒成立,即(x2a+?
2)
1
2
≤0在(? 2,+∞)内恒成立,a≤12.
剖析 错误的理由是对于函数f( x )在D上单调递增(或递减)的充要条件是f′( x )≥0 (或f′( x )≤0)且f′( x0)在D上任一子区间上不恒为零理解清楚.而当a =12时,f′( x )=0在(? 2,+∞)恒成立,所以不题意,所以舍去.


相关文章
推荐阅读

 发表评论

共有3000条评论 快来参与吧~