浅议浅谈浅谈数学中“交汇”
更新时间：2024-02-01
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导数内容的引入，给函数性质的研究开辟了一条新的途径，也为与函数知识相关的内容提供了新的解题方案，为分析和解决此类问题提供了新的视角、新的考查目标。下面举例介绍导数与其他数学知识的交汇问题，供参考。
解析：设f（x）=x3-6x+1-m，由于f（x）=0的根即为函数f（x）与x轴交点的横坐标，依题意，函数f（x）与x轴有三个不同的交点，则函数f（x）的极大值与极小值为异号，而f′（x）=3x2-6，令f′（x）=0，得x=±■，即■与-■为两个极值点，故必有f（■）·f（-■）<0，∴（2■-6■+1-m）·（-2■+6■+1-m）<0？圯1-4■点评：解决三次函数问题，现行的主要方法是利用导数来求解，将三次方程问题向三次函数转化是必由之路，合情合理。
A.（-3，0）∪（3，+∞）
B.（-3，0）∪（0，3）
C.（-∞，-3）∪（3，+∞）
D.（-∞，-3）∪（0，3）
解析：设F（x）=g（x）f（x），则F′（x）=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x），又f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则F（x）为奇函数，依题意，当x0且g（-3）=0，知F（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上为增函数且过点（±3，0）根据对称性并画数轴分析，知F（x）=f（x）g（x）<0的解集为（-∞，-3）∪（0，3），故应选（D）。
点评：此题从考查导数的运算法则出发，还考查了函数的图像和性质，是一道较好的综合题。
解析：当x=2时，y=-2n，且切线的斜率k=y′|x=2=[nxn-1-（n+1）xn]|x=2=n2n-1-（n+1）2n=-n2n-1-2n；故在x=2处的切线方程为y+2n=（-n2n-1-2n）（x-2），令x=0得y=（n+1）2n=an，则■=2n；∴数列{■}的前n项和为21+22+…+2n=■=2n+1-2。
点评：本题是一个导数应用题，融入数列知识后，提升了题目的档次，体现了高考考查学生综合能力的意图。
解析：由于a·b=■x3+x（x-3）=■x3+x2-3x，令f（x）=■x3+x2-3x，则f′（x）=x2+2x-3，令f′（x）=0得x=-3或x=1，当x∈（-4，-3）时f′（x）>0，当x∈（-3，1）时f′（x）0，故f（x）在x=1处取极小值为f（1）=-■，又f（-4）=■，f（4）=■，故f（x）在x∈[-4，4]上的最小值为-■，此时x=1，∴a=（■，1），b=（1，-2），故cosθ=■=■=
-■，可得向量a与b的夹角θ=■。
点评：本题是一个向量综合题，其中利用导数来解决三次函数的最值问题是问题的核心。
解析：由于y1′=-2x，y2′=-2x+a，所以C1在点A处的切线方程为y+x2A=-2xA（x-xA），即y=-2xAx+x2A；C2在点B的切线方程是y+x2B-axB=（-2xB+a）（x-xB），即y=（-2xB+a）x+x2B，因l是C1与C2的公切线，∴2xA=2xB-a且x2A=x2B，联立解得xA=-■，xB=■，则切线l的方程为y=■x+■，∵|AB|=■，由弦长公式得|xA-xB|=■|xA-xB|=■，即■·■=■，得到a=±■。
点评：由于导数知识的介入，使解析几何问题更加丰富多彩，而圆锥曲线的切点弦问题是近年来的热点题型，值得关注。
源于：毕业设计论文模板www.618jyw.com
解析：联立两曲线方程y=■与y=■，解得两曲线的交点为（1，1），由曲线y=■，得y'=-■，∴k1=-1，即双曲线y=■在交点（1，1）处的切线的斜率为k1=-1，由抛物线y=■得y'=■x-■，∴k2=y|x=■，即抛物线y=■在交点（1，1）处切线的斜率为k2=■，设两线交点处切线的夹角为α，两直线夹角公式得tanα= |■|=3，所以两切线的夹角为arctan3。
点评：求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率，根据导数的几何意义，只需先求出两曲线在交点的导数，再应用两直线的夹角公式求出夹角即可。
（作者单位：河南省安阳市第二中学）
一、导数与方程知识的交汇
例1 已知三次方程x3-6x+1-m=0恰有三个相异实根，求实数m的范围。解析：设f（x）=x3-6x+1-m，由于f（x）=0的根即为函数f（x）与x轴交点的横坐标，依题意，函数f（x）与x轴有三个不同的交点，则函数f（x）的极大值与极小值为异号，而f′（x）=3x2-6，令f′（x）=0，得x=±■，即■与-■为两个极值点，故必有f（■）·f（-■）<0，∴（2■-6■+1-m）·（-2■+6■+1-m）<0？圯1-4■
二、导数与函数、不等式知识的交汇
例2 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（ ）A.（-3，0）∪（3，+∞）
B.（-3，0）∪（0，3）
C.（-∞，-3）∪（3，+∞）
D.（-∞，-3）∪（0，3）
解析：设F（x）=g（x）f（x），则F′（x）=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x），又f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则F（x）为奇函数，依题意，当x0且g（-3）=0，知F（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上为增函数且过点（±3，0）根据对称性并画数轴分析，知F（x）=f（x）g（x）<0的解集为（-∞，-3）∪（0，3），故应选（D）。
点评：此题从考查导数的运算法则出发，还考查了函数的图像和性质，是一道较好的综合题。
三、导数与数列知识的交汇
例3 已知函数y=xn（1-x）在x=2处的切线与y轴的交点的纵坐标为an，则数列{■}的前n项和为_________。解析：当x=2时，y=-2n，且切线的斜率k=y′|x=2=[nxn-1-（n+1）xn]|x=2=n2n-1-（n+1）2n=-n2n-1-2n；故在x=2处的切线方程为y+2n=（-n2n-1-2n）（x-2），令x=0得y=（n+1）2n=an，则■=2n；∴数列{■}的前n项和为21+22+…+2n=■=2n+1-2。
点评：本题是一个导数应用题，融入数列知识后，提升了题目的档次，体现了高考考查学生综合能力的意图。
四、导数与向量知识的交汇
例4 已知向量a=（■，x），b=（x，x-3），x∈[-4，4]，求当a·b取最小值时，向量a与向量b夹角的大小。解析：由于a·b=■x3+x（x-3）=■x3+x2-3x，令f（x）=■x3+x2-3x，则f′（x）=x2+2x-3，令f′（x）=0得x=-3或x=1，当x∈（-4，-3）时f′（x）>0，当x∈（-3，1）时f′（x）0，故f（x）在x=1处取极小值为f（1）=-■，又f（-4）=■，f（4）=■，故f（x）在x∈[-4，4]上的最小值为-■，此时x=1，∴a=（■，1），b=（1，-2），故cosθ=■=■=
-■，可得向量a与b的夹角θ=■。
点评：本题是一个向量综合题，其中利用导数来解决三次函数的最值问题是问题的核心。
五、导数与解析几何知识的交汇
例5 已知直线l与抛物线C1：y1=-x2，C2：y2=-x2+ax分别相切于点A、B且|AB|=■，求a的值。解析：由于y1′=-2x，y2′=-2x+a，所以C1在点A处的切线方程为y+x2A=-2xA（x-xA），即y=-2xAx+x2A；C2在点B的切线方程是y+x2B-axB=（-2xB+a）（x-xB），即y=（-2xB+a）x+x2B，因l是C1与C2的公切线，∴2xA=2xB-a且x2A=x2B，联立解得xA=-■，xB=■，则切线l的方程为y=■x+■，∵|AB|=■，由弦长公式得|xA-xB|=■|xA-xB|=■，即■·■=■，得到a=±■。
点评：由于导数知识的介入，使解析几何问题更加丰富多彩，而圆锥曲线的切点弦问题是近年来的热点题型，值得关注。
六、求两切线的交汇
例6 求双曲线y=■与抛物线y=■交点处两切线的夹角源于：毕业设计论文模板www.618jyw.com
解析：联立两曲线方程y=■与y=■，解得两曲线的交点为（1，1），由曲线y=■，得y'=-■，∴k1=-1，即双曲线y=■在交点（1，1）处的切线的斜率为k1=-1，由抛物线y=■得y'=■x-■，∴k2=y|x=■，即抛物线y=■在交点（1，1）处切线的斜率为k2=■，设两线交点处切线的夹角为α，两直线夹角公式得tanα= |■|=3，所以两切线的夹角为arctan3。
点评：求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率，根据导数的几何意义，只需先求出两曲线在交点的导数，再应用两直线的夹角公式求出夹角即可。
（作者单位：河南省安阳市第二中学）
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