谈谈推理比翼齐飞：合情推理与演绎推理中专生

摘要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确要求发展学生的合情推理与演绎推理的能力，而在数学教学过程中，一线教师对合情推理与演绎推理的关系处理上有失偏颇. 本文通过案例分析，探讨合情推理与演绎推理联合运用对于数学教学的益处.
关键词：合情推理；演绎推理；数学教学
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式. 推理一般包括合情推理和演绎推理. 合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果. 演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论.解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性.
在实施新课改之前，我国传统数学教育重视演绎推理.而在实施新课改后，演绎推理相对来说被弱化，与之相比，合情推理得到重视. 一线的中小学教师，还有一些高校学者都积极投入到对“合情推理”的研究当中去，试图在教学活动中引入合情推理，为的是契合课标的要求，而演绎推理在数学上是作为一种严格的推理方法使用，是数学严谨性的体现. 因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的. 笔者以具体案例加以阐述.
案例1 合情推理与演绎推理齐上阵，消除不合理类比的误导
在学习一元一次不等式的解的时候，很多同学在解不等式的时候会出错.
例1？摇-2x+3>4
解：
移项：？摇？摇？摇？摇-2x>4-3
合并同类项：-2x>1
两边同除以-2：x>-
这是一个典型的错解. 究其原因，是因为教师在讲解一元一次不等式的解法时运用一个类比（合情推理）的方法.
一元一次方程 一元一次不等式
3x-5=-x-9？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇3x-5<-x-9
移项：？摇？摇？摇3x+x=-9+5？摇3x+x<-9+5
合并同类项： 4x=-44x<-4
两边同除以4： x=-1？摇x<-1
学生认为“老师讲解的时候，等号与不等号的两边都有正负号，没有变号，我解的过程和老师要求的一样啊！”
显然，这个类比没有关注到不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.这就是类比的不合理给学生的学习带来了误导.
如果改变成：
一元一次方程一元一次不等式
-3x-5=-x-9？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 -3x-5<-x-9
移项：？摇？摇？摇 -3x+x=-9+5？摇 -3x+x<-9+5
合并同类项：-x=-4 -x<-4
两边同乘以-2： x=8 x>8
这会比原来类比的好，但是也有一个问题，在解不等式的时候老想着等式，一些学生的思维就会发生混乱，在不等号的方向是否要改变上犯了难. 学生为什么产生疑惑？
？摇？摇按照学习迁移理论，先前的学习对以后的学习的产生的影响有正迁移（一种学习对另一种学习起促进作用）和负迁移（一种学习对另一种学习起干扰或抑制作用）之分. 把一元一次方程的解法通过类比来得到一元一次不等式的解法，可以说，教师的初衷是好的，而且是想发挥正迁移的功效，但是负迁移的影响却被忽略了，这就直接导致学生在不等号的方向是否要改变上犯了难. 所以，在教学中要尽量消除负迁移的影响，不妨通过演绎推理来说明之.
在这里，教师可以直接对命题“如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac证明（演绎推理），强化不等式解法.
证明：ac-bc=（a-b）c，因为a>b，所以a-b>0，根据“同号相乘得正，异号相乘得负”，得当c>0时，（a-b）c>0，即ac>bc；当c<0时，（a-b）c<0，即ac接下来，教师可以让学生试着证明“不等式两边除以同一个负数，不等号的方向改变”. 这就涉及数学文字语言向数学符号语言的转化，有利于培养学生的数学符号意识，进一步体会不等式的解法.
合情推理与演绎推理齐上阵，消除不合理类比的误导.这不仅让学生更好地理解“不等式两边同乘一个负数，不等号的方向改变”，还渗透“作差法”这一证明不等式的基本思想方法.
案例2 合情推理与演绎推理联手，体验发现结论到验证结论的过程？摇
例2 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

1. 观察发现结论

①如图1， AB，CD是⊙O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？
②如图2，当AB⊥CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？
③如图3，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？

2. 提出猜想（合情推理）：

根据以上的研究和图3，可以引导学生大胆提出这样的猜想：
CD是圆O的直径，CD⊥弦AB，垂足为E？圯AE=BE，劣弧AC=劣弧BC，优弧AD=优弧BD.

3. 验证猜想：

教师用电脑课件演示图3中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径.

4. 引导证明（演绎推理）：

猜想是否正确，还有待于证明.
证明：如图4，连结OA，OB，？摇因为OA，OB是⊙O的半径，？摇所以OA=OB. 所以△OAB是等腰三角形？摇. 因为AB⊥CD，所以AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一），所以劣弧AC=劣弧BC，∠AOD=∠BOD，所以优弧AD=优弧BD.
这是一个典型的认知策略教学与探究合作学习相结合的案例. 例2从学生的角度来说是共同探究，合作学习；从教师的角度来说是认知策略的教学. 这有助于学生相互观察，相互讨论，加深对学习内容的理解，提高学生的认知策略学习. 通过教学让学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具. 通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验从发现结论到验证结论的过程，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程.可见，通过合情推理，猜测结论，获得分析问题和解决问题的一些基本方法；通过演绎推理，证明结论，体验解决问题方法多样性，有助于发散思维的培养. 把合情推理与演绎推理融为一体，既丰富学生数学活动经验，又能使得学生体会数学的思维方式.
案例3合情推理与演绎推理肩并肩，让不同的人在数学上得到不同的发展
在学习同底数幂的除法法则时，教师一般采用不完全归纳法（合情推理），通过一些具体数字的例子，与学生共同探究，得出法则：
65÷62=7776÷36=216=63=65-2
55÷52=3125÷25=125=53=55-2
……
归纳得出，am÷an=am-n？摇 （m>n）.
对于处在形象思维阶段的学生，这样的教学能够让他们更好的理解与接受.
由于学生的思维发展水平不一致，同一年龄段的学生就有领会、理解能力的差异，要求教师教学能够因材施教.
摘自：本科毕业论文答辩www.618jyw.com
对于处在经验型思维阶段的学生，推演过程要有一定的抽象性和演绎推理，可采用：
当m>n时，am÷an=÷
？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇=÷
？摇=
=am-n.
对于处在理论思维阶段的学生，则要求他们具有更高的抽象概括和逻辑推理水平. 可以这样进行：
若ax·an=am，则ax+n=am，（同底数幂相乘法则）
于是x=m-n，则ax=am-n，
所以am-n·an=am.
因此，am÷an=am-n. （除法定义）
这就给教师们的教学设计提出要求了，如何促进不同学生在数学上得到不同的发展？一部分学生可能擅长于较具体、形象的思维，而另一部分的学生则善于用演绎推理的方法来领会和掌握知识. 案例3就给教师们一个启示，在教授新知识的时候，可以采取多种讲解方法，由浅入深，循序渐进.
按照维果斯基“最近发展区理论”，教学应根据学生的“最近发展区”进行相应的教学，激发他们的求知欲，所采用的教授内容对于对应一级或下一级认知思维水平的学生来说都应符合“跳一跳都能够得着”的原则. 因此，在数学教学中，让合情推理与演绎推理肩并肩，由浅入深，让不同的人在数学上得到不同的发展.
通过以上的案例，我们可以感受到，在数学教学过程中，不但要注意到学生的学习心理，还要注意到教师自身的教学策略，循序渐进，消除负迁移的影响. 而合情推理与演绎推理在数学教学中联合使用就可以达到这样的目的. 因此，教师应该设计适当的数学学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比和画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认. 体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力.