梯形,四边形中动点理由求解

数学动点不足，是数学图形上有着或两个沿某些线运动的点，点的运动特点，寻求题目中某些量之间联系的不足. 这类题目，逐渐了考试探讨的热点. 下面举例四边形中动点不足的解法.
如图1，菱形ABCD的两条对角线长6和8，点P是对角线AC上的动点，点E，F是边AB，BC的中点，求PE＋PF的最小值.

轴对称的性质，可在CD上找出点F关于AC的对称点F′（即DC的中点），连结F′E交AC于点P，则PE+PF的最小值为线段EF′的长，而E，F′为边AB，DC的中点，则F′E的长等于菱形的边长5.
作点F关于AC的对称点F′，连结F′E交AC于点P，此时PE+PF最小值. 点F是BC上的中点，所以点F′是DC边上的中点. 四边形ABCD是菱形，所以DC∥AB. 点E是AB边上的中点，所以F′C∥EB，F′C=EB. 所以四边形EBC F′是平行四边形. 所以EF′=BC. 菱形ABCD的两条对角线长6和8，所以BC==5. 所以EF′=5. 所以PE+PF=PE+PF′=EF′=5. 所以PE+PF的最小值为5.
解此类题时，先抓住不足“最值”，即题目 “最小值”，确定动点P的位置，然后图形的特点解决. 求最小值的常用策略是先作某一点关于某直线的对称点，再轴对称性质将线段转移，两点之间线段最短求解.
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，一动点P以点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q以点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的本科毕业论文速度运动. P，Q以点A和点C出发，当一点到达端点时，另一点也随之停止运动. 设运动时间为t s，则
（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
解决本题的是熟悉平行四边形和等腰梯形的性质特点，再它们的性质特点列出方程求解.
（1）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，所以当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形. 所以24-t=3t，解得t=

6. 所以当t=6 s时，四边形PQCD为平行四边形.

（2）如图3，作DH⊥BC于点H，PG⊥BC于点G，若四边形PQCD为等腰梯形，则QC=PD＋2HC，即QC=PD+2（BC-AD）. BC=26，AD=24，所以3t=（24-t）+2（26-24），解得t=

7. 所以当t=7 s时，四边形PQCD为等腰梯形.

在解答本例题时，不足中特殊四边形的性质及特点，构造动点的位置，是动点不足常用的策略.
如图4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值.
在求PE＋PF的值时，动点P的位置不固定，矩形的对角线相等且互相平分可S与S的和，即S的值是固定不变的值，所以，可连结OP，S= S+S=S，代入数值，即可求出结果.
连结OP，S= S+S，所以S=AO·PE+DO·PF. 四边形ABCD是矩形，所以AC=BD，∠BAD=90°，AO=AC，DO=BD. AB=3，AD=4，所以AC=BD=5. 所以AO=DO=. 所以S=×PE+×PF=（PE＋PF）. S=S=×3×4=3，所以（PE＋PF） =

3. 所以PE＋PF=.

动点P的位置确定，PE，PF放到一条直线上，但始终不变的是图形的面积. “面积法”是本类题的解题特点.
如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC， AD=2， BC=4， 点M是AD的中点，△MBC是等边三角形.
（1）试梯形ABCD是等腰梯形.
（2）动点P，Q在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变，设PC为x，MQ为y，求y关于x的函数剖析式.
（1）△MBC是等边三角形，所以MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°. M是AD的中点，所以AM=MD. AD∥BC，所以∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°． 所以△AMB≌△DMC. 所以AB=DC. 所以梯形ABCD是等腰梯形．
（2） △MBC是等边三角形，所以∠MBC=∠MCB =60°，MB=MC=BC=4. ∠MPC=∠MBC＋∠BMP=∠MPQ＋∠QPC，∠MPQ=∠MBC=60°，所以∠BMP=∠QPC. 所以△MPB∽△PQC. 所以=. PC=x，MQ=y，所以QC =4-y，PB=4-x. 所以=. 所以 y=x2-x+4.
如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3 cm，∠C=60°，BD⊥CD．

（1）求BC，AD的长度.
（2）若点P以点B开始沿BC边向点C以2 cm／s的速度运动，点Q以点C开始沿CD边向点D以1 cm／s的速度运动，当 P，Q以B，C出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数联系式，并写出自变量t的取值范围（不点P在B，C两点的情况）.
（3）在（2）的下，有着某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两的面积比为1 ∶ 5？若有着，求出t的值；若不有着，请理由．
（1）在Rt△BCD中，CD=3 cm，∠C=60°，所以∠DBC=30°. 所以BC=2CD=6 cm. 由已知知梯形ABCD是等腰梯形，所以∠ABC=∠C=60°. 所以∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°. AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC=30°. 所以∠ABD=∠ADB. 所以AD=AB=3 cm.
（2）当P，Q以B，C出发运动t s时，BP=2t，CQ=t，所以PC=6-2t. 过点Q作QE⊥BC于点E，则QE=CQsin60°=t. 所以S =S-S=－t（6-2t）=（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.
（3）有着时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两的面积比为1 ∶ 5. S=，S=×3××3，所以S=S所以五边形ABPQD的面积能是梯形ABCD面积的.所以S ∶ S=1 ∶ 5，即S=S. 所以（2t2-6t+27）=×，解得t=. 所以当t=s时，PQ把梯形ABCD分成两的面积比为1 ∶ 5．
总之，数学动点不足，是把“动”变为“静”，题目的已知条件、所求不足的图形特点、运动规律等，经过观察、大胆猜想、推理、归纳等，灵活地把未知转化为已知，以而动点不足的答案.