实数,多变,多变量最值理由求解对策

摘要：多变量最值理由是常见的题型，高考竞赛考试的热点.给出决多变量最值理由的十二种求解对策，以例题的解答和浅析中，解答这类理由的是能运用数学知识、数学思想策略教学论文，灵活解决理由.
词：多变量；最值；对策
多变量最值理由是中学数学常见理由，在高考、高考模拟考试及竞赛中经常出现. 这类理由内涵、知识面广、综合性强，解法灵活多变，考查学生运用数学知识、数学思想策略教学论文，灵活解决理由的能力. 学生找到解题思路，束手无策，不知以何处突破. 下面举例浅析有关多变量最值理由求解的对策，略谈己见.
对策一不等式法
例1（2010年重庆高考题）已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
（）
A. 3B. 4
C. D.
解：x+2y+2xy=8，所以8－（x+2y）=x·（2y）≤2.
整理得，
即，又，x+2y≥4，故选B.
例2（2006年重庆高考题）若a，b，c>0，且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c最小值是（）
A. 2B. 3
C. 2?摇?摇?摇?摇 D.
解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≥a2+4bc+2ab+2ac =12，
a+b+c≥2，故选A.
评析：运用不等式是解决多变量最值理由的常用策略教学论文.但要对不等式灵活变形，如a+b≥2，ab≤2等.
对策二变量分离法
例3 （江苏无锡2010年秋高三期末）不等式x+≥a－2+siny对实数x，y均成立，则实数a的取值范围是________.
解：变量分离得 x+－siny≥a－2. x+－siny≥2－1=1，所以a－2≤1，打开绝对值得1≤a≤

3. 故所求得实数a的范围为［1，3］.

例4设x>0，y>0，不等式++≥0恒成立，则实数m的最小值是________.
解：－m≤x+y+=2++. ++2≥4，所以－m≤4，即m≥－4.
m的最小值是-4.
评析：多变量理由中常用的策略教学论文将的某一变量分离出来，对一边表达式范围的确定另一边的范围.
对策三变量消去法
例5（2008年江苏高考题）设x，y，z为正实数，x－2y+3z=0，则的最小值是________.
解：由已知条件得y=，带入算式得
?摇 ===++≥2+=3，
所以的最小值是3.
评析：多变量理由中最的策略教学论文消去变量，减少变量的个数，转化成求函数最值其他多变量理由求解.
对策四整体代换法
例6 （泰州2010年秋高三一模）已知正实数x，y，z2xx++=yz，则x+x+的最小值为?摇?摇?摇?摇
解：由条件可得x2+x+=，
则x+x+=x2+x++=+≥2=，所以所求最小值为.
例7（2010年江苏高考题）设实数x，y3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是________.
解：=≤=27，所以的最大值是27.
例8（泰州2009年秋期末题）已知实数x，s，t8x+9t=s，且x>－s，则的最小值为________.
解：由已知得9（x+t）=x+s，
则==x+s+=（x+s）+≥6，所以所求最小值为6.
评析：变量较多时，是单独求出变量，但把它们看成整体，不求出的变量，较易解决.
对策五判别式法
例9（2011年浙江高考题）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是________.
解：设2x+y=t，所以y=t－2x；代入4x2+y2+xy=1整理得6x2－3tx+t2－1=0. 关于x的方程有根，所以Δ=（-3t）2－4×6×（t2-1）≥0，解得－≤t≤. 2x+y的最大值是.
例10 （苏北四市2010年秋高三一模）已知实数a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值范围是________.
解：由已知得a+c=9－b，又ca=24－ab－bc=24－b（9-b）=24－9b+b2，
所以a，c是方程x2－（9-b）x+24－9b+b=0的两根.
由Δ≥0得（9-b）2－4·（24-9b+b2）≥0，解得1≤b≤5.
评析：在涉及关于某个变量的二次方程时，考虑方程有解，对不等式Δ≥0求解；另外在类似有关x+y，xy的式子时，有时联想到根与系数的联系，运用判别式就不等式，以而求出所求的范围.
对策六重新组合法
例11（四川2010高考题）设a>b>c>0，2a2++－10ac+25c2的最小值是（）
A. 2B. 4C. 2D. 5
解：原式=a2+++（a-5c）2=a2－ab+ab+++（a-5c）2?摇=a（a-b）++ab++（a-5c）2≥2·+2+（a-5c）2≥4. 当且仅当a2（a-b）2=1，（ab）2=1，a－5c=0成立时，即当a=，b=，c=时，等号成立.
评析：将含有多变量的式子重新组合，然后不等式或完全平方来求解.
对策七 数形法
例12（2010秋苏州调研）已知△ABC的三边长为a，b，cb+2c≤3a，c+2a≤3b，则的取值范围为________.
解：由已知条件及构成三角形的条件得b+2c≤3a，c+2a≤3b，a+b>c，a+c>b，b+c>a. 令=x，=y，则
原不等式等价于x+2y≤3，3x－y≥2，x－y>－1，x－y1，
作出不等式所表示的平面区域，如图1所示阴影ABCD区域，B，，D，.
所以的取值范围，即x的取值范围为评析：多变量理由中遇到有关二元一次不等式组或类似于圆、椭圆、抛物线方程有关的不等式时，运用数形的策略教学论文，联想到线性规划、斜率、距离等，相对地解决.
对策八三角换元法
例13已知a，b，x，y∈R，且a2+b2=1，x2+y2=4，则ax+by的最大值是_______.
解：由条件设a=cosα，b=sinα， x=2cosβ，y=2sinβ，
则ax+by=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos·（α－β）≤2，故ax+by的最大值为2.
评析：遇到类似圆或椭圆的方程时，考虑用参数方程三角换元，三角函数的有界性求解.
对策九“1”的代换法
例14已知a，b，c均为正数，且a+b+2c=1，则+的最小值是______.
解：+=+（a+b+2c）=1+++2≥3+2=3+2，故最小值为3+2.
评析：已知某些式子的值为1，考虑“1”的代换法.
对策十主元法
例16 （2001年全国初中数学竞赛题）求实数x，y的值，使得（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2达到最小值.
解：将原式展开整理成x的二次函数形式，原式=5x2+（6y-30）x+3y2－20y+46=5x+（y-5）?摇2+y－2+.
当x+（y-5）=0，y－=0， 即x=，y=时，原式最小值.
评析：有时将多变量理由某一变量看成主元，就能较易解决理由.
对策十一放缩法
例14已知a，b，c，d是任意正数，求+++的最小值.
解：原式=+++=+≥+===2+≥2，
当且仅当a=b=c=d时，原式取最小值2.
评析：多变量理由有时不断地放缩，求出其范围，但要其等号成立的条件，另外，运用放缩法还应放缩的范围要适中，过大或过小.
对策十二导数法
例18若不等式+≤k对于任意正实数x，y成立，则k的取值范围为________.
解：k≥，则k2≥=.
设t=>0，则k2≥.
设f（t）=，
则f′（t）=.
当t∈（0，2）时，f′（t）>0，f（t）递增；当t∈（2，+∞）时，f′（t）<0，f（t）递减，所以f（t）max=f2=，
k2≥.
故k的取值范围为，+∞.
评析：多变量理由换元后变为变量的理由，运用导数法求出其最值.
总之，多变量的最值理由，情况复杂多变，解法灵活多样，掌握这些常用策略教学论文对解决此类理由大有益处.