谈谈思维基于学生思维试述试述推动概念进展如何

摘要：概念教学作为数学学习的一块重要内容，既有其内在的系统性，又有其学习的阶段性。然而现实中，教师往往更注重阶段性学习，而忽视了概念在后续学习中的关联、发展、更新，从一定程度上影响了学生对概念的掌握。本文以乘除法意义推广为例，深入分析学生思维，通过丰富原型、制造冲突、提取本质等途径引导学生顺利发展概念，切实提高概念教学的实效性。
关键词：思维；概念发展；乘除法意义
众所周知，数学概念本身有着严密的体系，且总是随着客观事物本身的发展变化和研究的深入不断地发展演变。学生对数学概念的认识，也需要随着数学学习的程度的提高，由浅入深，逐步深化。因此，教师必须处理好概念自身的连续性和学生学习的阶段性之间的矛盾，随着数学学习的深入，关注学生对同系概念含义的更新与重构，使概念趋于完善。然而现实中，教师往往比较注重概念的阶段性学习，而忽视了在后续教学中的关联、更新与重构，造成概念顺应上的“脱节”，使学习效果大打折扣。下面以“乘除法意义的发展”为例，通过列举学生在解决小数、分数乘除法问题时的常见错误，分析学生在学习乘除法意义时的思维过程，进而提出改进策略。

一、问卷引发的思考

笔者曾对五六年级学生作了一项问卷调查，了解学生对乘除法意义的掌握及相应的解决问题能力。为了便于比较，问卷以题组形式呈现：
题组1：
一种饼干的售价为每千克15元，3千克这样的饼干售价是多少？
一种饼干的售价为每千克15元，0.3千克这样的饼干售价是多少？
题组2：
2升桔汁的售价为8元，每升桔汁的售价是多少？
升桔汁的售价为4元，每升桔汁的售价是多少？源于：论文提纲格式www.618jyw.com
题组3：
某种农药2千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒6公顷麦地需要多少千克农药？
某种农药 千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒 公顷麦地需要多少千克农药？
应该说，这种以相同的数学结构出现的问题是很有暗示性的，且题目本身也相当基础，然而问卷结果却表现出了明显的差异：40位被测学生中，每项题组中的第一题综合正确率高达98.3%，而第二题的综合正确率仅为67.5%。这说明，学生对第一学段学习的乘除法问题掌握较好，进入第二学段却暴露出了明显的问题。具体看学生的错误类型，多是不知道该选择乘法还是除法来解决相应的问题，或是选择了除法，但不知将哪个数当被除数（如题组2第二题，很多学生用4× 或 ÷4来解决）。笔者以为，此类问题的存在固然可以从数量关系教学这一角度去分析，但这不应被等同于学生的实际思维过程，只有立足于学生已有的知识经验，探求已有经验对学生产生的影响及数域扩展后给学生带来的乘除法学习障碍，才能真正厘清学生的思维走向，进而对症下药。

二、分析与诠释

毫无疑问，在乘除法教学中，意义的教学是首要的。纵观整个小学阶段，乘除法意义实际上呈现不断发展的特点，这同时又可看成一个更为漫长的发展过程（如负数、无理数等概念引进后的扩展）中的一个环节。从宏观的角度看，二年级的乘除法意义学习阶段性十分明显，教师无疑会限于并强调“同数连加”的意义，这时学生所形成的内在表征就会有较大的局限性。特别是，由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下的观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；乘除法中各部分都是整数。”到了第二学段，数概念得到了进一步扩展，此时教师更多关注计算本身，对于乘除运算意义一般都只是寥寥数语带过，或简单地以“与整数乘除法意义相同”过场，而恰恰忽视了乘除运算意义在新数域的推广过程及所获得的新的含义，以乘法为例，增加了“已知整体求部分”，如“6的 是多少？”，相应的除法则是“求取整体”，即如“已知一个数的 是4，求这个数？”
显然，从这样的角度去分析，前面所提及的错误的发生也就不足为奇了，因为，这在很大程度上反映了这样的现实：第一组中，学生依据直觉意识到第二个问题的答案应小于15，进而，按照他们已建立的观念，乘法总是使数变大，而只有除法才能使数变小，因此，选择了除法；第二组中出现了分数，而学生头脑中的乘除法各部分应是整数，所以一下子就变得茫然，即便正确选择了除法，也不知该将哪个数放在前面；第三组第二题则是与学生之前建立的“同数连加”的乘法意义相冲突，因为这时分数的乘法显然已不能看成“重复的加法”，而是“求一个数的几分之几是多少”，因此就容易出错。
事实上，以上尽管通过分析学生思维找到了其错误的根源，但我们也应看到这种错误的“合理性”，站在学生的角度，他们不过是将仅仅适用于正整数乘除的某些“规律”错误地推广到了正有理数的情况，这当然应当被看成学生思维发展的一个必然过程。关键是，作为教师应清楚地认识学生在乘除法意义学习中的局限性和困难，采取适当的措施引导学生较为自觉地去实现对乘除法意义的必要的推广与更新。

三、小学阶段发展乘除法意义的策略研究

(一)丰富原型，加深对意义的多角度理解

格里尔在“作为情境模型的乘除法”一文中指出：为了使纯形式的推广在直观上能够被接受，必须辅以一些具体情境，在其中所说的推广可以被认为十分必要和完全合理的。对于乘除法意义本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于现实的沃土，意蕴丰富。在第二学段的教学中，我们仍应牢牢把握情境这条主线，实现乘除法意义的内涵发展。
在小学阶段，乘除法意义大致有以下几种：
（1）等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下，两个因数的地位并不相同，也就是过去所说的“每份数”、“份数”，从而，也就有两种不同的除法逆运算，即通常所说的“平均分”、“包含除”。
（2）倍数问题。
（3）配对问题。
（4）长方形的面积。 这几种原型在第一学段均已出现，但在学生头脑中的印象是浅显的、零散的，仅限于正整数，且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。随着学生数概念的发展，相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中，教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型，提高其对意义的表征能力。
如在五上“小数乘法”单元，笔者设计了这样一道题：请用你喜欢的情境表达“

1.3×5”的意义。

经过充分的思考、讨论、交流，学生中产生很多想法：有的编制了购物、长度、质量、面积等数学问题，有的画实物图或线段图，有的用文字或加法算式直接说明。作品很多，但均从不同角度反映了不同个体对乘法意义在小数域中的认识表征。此时，我不失时机地引导学生对作品进行归类，寻找异同，理解作品背后所表示的意义。学生在整理后发现：1.3×5既可以表示5个1.3（等量组的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍数问题），还可以用在面积计算中等。也正是在这样的交流共享中，学生原先停留在正整数领域中的乘法意义有了进一步的发展，在丰富的原型中体会到乘法意义在小数领域的本质推广与延伸。

(二)制造冲突，促进学生对概念的主动更新

建构主义认为，对于学生在概念学习中发生的错误不应单纯依靠正面的示范和反复练习去纠正，而应以引发主体内在的“观念冲突”为必要前提，使其经历“自我否定”的过程。高年级学生正处于形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，已经具备一定的思考能力，如果教师只是简单地将乘除法意义“教”给学生，缺少学习主体的自我内化过程，那么概念的发展就如浮光掠影。因此，教师应创设能引发学生概念冲突的情境，引燃学生思维的火花，引导学生主动对先前的乘除法意义的认识作出必要的调整，将新的含义悦纳到已有的知识体系中。
以分数乘法的教学为例，一位教师在教学中出现这样一组情境：
（1）我的绳子长 米，小明的绳长是我的3倍，小明的绳子有多长？
（2）我的绳子长3米，小明的绳长是我的 ，小明的绳子有多长？
引导学生通过画图、讨论得出算式，反馈时，教师适时追问：都是 ×3，表示的意义相同吗？这就引发学生的思维冲突：如果说第一题可用“3个 ”解释，那么后一题显然不能，这题的意义又该怎样表述？这样，在对同一算式不同含义的挖掘中，学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法出现的新问题，产生了认知冲突，有了扩展新含义的需要。
在此基础上，教师及时引导学生对第二题的算式意义进行研究，注意其发展变化。并指出在引入分数以后，“倍”的概念发展了，既包含了原来的“整数倍”、“小数倍”，也包括了这节课所学的“一个数的几分之几是多少”。这样，学生经历了“冲突——建构——顺应”的学习过程，新概念的融入便不再是教师强加，而是主动的更新与顺应。

(三)提取本质，引导学生转换关注视角

前文的分析中曾提及，学生在数域扩展后，容易将在整数乘除法意义学习中的一些“规律”错误地推广到小数、分数乘除法学习中，繁杂的数据构成了学生在学习小数、分数乘除法中的一大障碍。面对新题目，学生往往更多地关注情境中所包含的数量，而不注意其中的文字内容，以及内容背后的运算意义。对此，教师不妨立足学生的思维方式，化繁为简，抓住本质，以此修正认识误区。
基于这样的思考，笔者在实践中进行了尝试。以分数的除法意义教学为例，教材在编排中已经考虑到了学生的学习困难，采用由整数乘除法改编数据后过渡到分数乘除法的方式，帮助学生理解摘自：本科论文www.618jyw.com
“分数除法的意义与整数除法的意义相同”，即“分数除法是分数乘法的逆运算”。从表面上看，学生通过旧有知识已经促成了新知理解，而事实上，学生此时的理解仅仅是在特定题组中的，脱离题组这根“拐杖”，学生又会受到数据的干扰。因此，我紧接着出示了一组题，要求学生只列式不计算：
（1）把 平均分成2份，每份是多少？
（2） 里面有几个1/5？
（3）10是 的几倍？
（4）一个数的是 是8，这个数是多少？
（5）两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，另一个因数是几？
可以发现，这组题虽然脱离了具体的情境，但都直指除法意义本身。在学生列式后，我追问：你是凭什么选择用除法计算的？是否用除法计算，与题目中的数据有关吗？这时，学生就会走出情境，思考题目背后的意义，思考自己选择的初衷。“分数除法的意义与整数除法相同”，但具体表现在哪些地方呢？“平均分”、“包含除”、“倍数问题逆运算”、“已知部分求整体”等，这些都是除法意义在具体问题中的结构本原。学生知道了这一点，也就能避开数据产生的干扰，而更关注于问题本身的含义，将视角从“关注数据”转换到“关注意义”中来，进而，在面对复杂的情境、复杂的数据时，能以运算意义为依托，将问题简化。
综上所述，小学阶段乘除法意义的教学应着力在阶段性与发展性之间寻求平衡。换言之，对于任何数学概念的教学，教师都要立足于学生的思维状态，关注其对概念的不断更新、发展、重构，及时排除概念发展中的障碍，从而达成概念教学效果的最大化。
参考文献：
郑毓信.国际视角下的小学数学教育[M].北京.人民教育出版社，2004：332-344.
李光树.小学数学概念教学[EB/OL].