有关于向量“向量坐标化”如何

更新时间:2022-5-28 点赞:16883 浏览:72995 作者:用户投稿原创标记本站原创

平面向量作为高中数学必修四第二章的内容,高考每年必考,主要是考查向量的运算,包括不含坐标的运算和含有坐标的运算,难度并不大,但是向量作为数学的一个工具,还是起到了一定的作用,尤其是向量问题坐标化,往往会给我们解题带来很大的帮助,向量的坐标表示将向量的运算转化为我们最熟悉的实数运算,为快速准确解题带来了极大的方便,对明确给出向量坐标的题目我们已经会解了,而对于没有明确给出向量坐标的题目,往往就不知如何入手,下面通过实际例子,来体验“向量坐标化”的应用,主要以今年高考题为例。
例1. (2013江苏卷理10)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为
.
解析:不妨设△ABC为等腰直角三角形,B=90°,AB=BC=2,以B为原点BA、BC为两坐标轴建系,将坐标代入DE=λ1AB+λ2AC,易得λ1+λ2=12.
例2.(2013山东卷理15)已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,|AC|=2,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为

解析:以A为原点,AB为X轴建系,易得A、B、C、P坐标以及AP,BC的坐标,再由AP⊥BC,可得λ=712.
例3.(2013湖南卷理6)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是
A. [2-1,2+1] B. [2-1,2+2]
C. [1,2+1]D. [1,2+2]
解析:设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),代入|c-a-b|=1,得(x-1)2+(y-1)2=1 |c|=x2+y2可视为点(x,y)与点(0,0)的距离,由圆的特点可得A.
例4. (2013天津卷理12).在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD中点,若AC·BE=1,在AB的长为

解析:以A为原点,AB为X轴建系,设B(x,0),由AD=1,∠BAD=60°可得D12,32,C1+x2,32,进而可得E,代入AC·BE=1,x=AB=12.
例5.(2013重庆卷理10)在平面上,AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2,若|OP|<12,则|OA|的取值范围是
A. (0,52] B. (52,72]
C. (52,2]D. (72,2]
解析:这时压轴选择题,但是我们仍然可以用坐标。以A为原点,AB1,AB2为X,Y轴建系,设B1(a,0),B2(0,b),则P(a,b),再设O(x,y),由|OB1|=|OB2|=1,得(x-a)2+y2=1①,x2+(y-b)2=1②,由|OP<12|,得(x-a)2+(y-b)274,作为选择题此时已经可以选出答案了,另一方面,由①②可得,y2≤1,x21,故x2+y22,因此选D.
例6. (2013安徽卷理9)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA|=|OB|=OA·OB=2,则点集{P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|1,λ,μ∈R}所表示的区域面积是
(A)22 (B)23 (C)42 (D)43
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:这时倒数第二个选择题,由|OA|=|OB|=OA·OB=2,可知∠AOB=60°可设A(1,3),B(-1,3),P(x,y),代入{P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|1,λ,μ∈R}得x+y3+x-y32,按线性规划分4类画出图形为长23宽2的矩形,选D.
例7. (2013浙江卷理7)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=14AB,且对于边AB上任一点P,恒有PB·PCP0B·P0C。则
A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90°
C. AB=AC D. AC=BC
解析:以A为原点,AB为x轴建系,不妨设AB=4,则B(4,0),P0(3,0),设P(x,0),0x4,C(a,b),代入PB·PCP0B·P0C整理得,(x-3)(x-a-1)0对0x4恒成立,故a=2,∴CA=CB选D.
例8. (2012浙江卷理15)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则AB·AC=
.
解析:以BC为x轴,M为原点建系,则B(-5,0),C(5,0),设A(x,y),AM=3,得x2+y2=9,AB·AC=x2+y2-25=-16(当然设A(0,3)更简单).
例9. (2011天津卷理14)已知直角梯形ABCD AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+B|的最小值为
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴建系,设DC=h,则A(2,0),B(1,h),设P(0,y),(0yh)则PA=(2,-y),PB=(1,h-y),
∴|PA+B|=25+(3h-4y)225=5.
例10. (2011辽宁卷理10)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)0,则|a+b-c|的最大值为( )
A.2-1 B.1 C. 2 D. 2
解析:设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),代入(a-c)·(b-c)0得x-122+y-12212,表示圆及内部∵|a+b-c|=(1-x)2+(1-y)2可视为点(x,y)与点(1,1)的距离,由圆的特点知最大值为1. 例11. (2010全国卷1理11)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么PA·PB的最小值为
(A)-4+2 (B)-3+2
(C)-4+源于:论文 范文www.618jyw.com
22 (D)-3+22
解析:设圆O:x2+y2=1,P(x,0),A(m,n),B(m,-n),则m2+n2=1,∵PA为切线,OA·PA=0,∴m2-mx+n2=0,即mx=1,PA·PB=2m2+x2-322mx-3=22-3,选D.
例12. (2004全国高中数学竞赛第4题)设点O在△ABC的内部,且有OA+2OB+3OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( )
A.2 B. 32 C.3 D. 53
解析:以A为原点,AC为x轴建系,设C(x,0),B(m,n),O(a,b),代入OA+2OB+3OC=0,得n=3b,S△ABC∶S△AOC=n∶b=3,选C.
例1

3.证明教材平面向量数量积分配律:(a+b)·c=a·c+b·c

解析:a=(x,y),b=(a,b),c=(m,n)
(a+b)·c=(x+a,y+b)·(m,n)
=xm+am+yn+bn
a·c+b·c=(x,y)·(m,n)+(a,b)·(m,n)
=xm+yn+am+bn
∴(a+b)·c=a·c+b·c
例14.a、b、c>0,且a+b+c=1,证明:a2+b2+c213.设m=(a,b,c),n=(1,1,1),m·n=a+b+c=1.而|m·n||m|·|n|,故1a2+b2+c23,平方可得a2+b2+c213(柯西不等式可直接得出).
通过以上实例,大家对向量坐标化应该有一定的体会,当然以上各题均可以不用坐标来解决,但是有的题目直接处理需要一定的技巧,不如建立适当的坐标那么直接(只是有时候运算量大一点哈),这其实是形到数的解题思想,是数形结合的一个重要方面,充分理解和运用这种思想分析和解决问题,会给我们解题(特别是与平面几何有关的问题)带来极大的方便,所以高考中也非常重视对这种思想方法的考查,平面向量在中学应用很广泛,希望我们在以后教学的过程中,多思考,多探索,使向量的应用更灵活、更简洁。以更好地作为工具服务于我们的高中数学。
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