面积,面积法在几何中运用
更新时间：2024-02-14
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几何题不像代数演算那样有程序可依、有公式可套，是不同的题目有不同的解法，即使是的题型，有时探讨的思路和证明的策略教学论文也可能相差甚远.那么，几何理由“难”，究竟难在哪？说到底条件和之间的联系相差甚远，易沟通.对几何中可沟通条件和的“面积法”探讨.面积法解决几何理由的对策大致有：等底（等高）的三角形面积之比等于两三角形的两高（底）之比；把图形的面积分割成图形的面积，建立两条多条线段长度之间的联系；图形面积的几种不同表示来探求不同线段之间的联系，比如用面积法求直角三角形斜边上的高.面积法解题的本质面积的有关性质将线段联系转化为面积联系，变形或解方程解决有关理由.
面积法中常用到的的引理：
１．共边三角形的面积比：设A、D到BC的距离是h
３．S△ABC=12absinC.
例1 已知：O是△ABC的外心，AO或AO的延长线交BC于M.
求证：BMMC=sin2Csin2B.
浅析：既然涉及外心O，故作出其外接圆，就可沟通它们的捷径.
证明：如图1，连接半径OB、OC.
由圆周角与圆心角的联系可知，
∠AOB=2∠ACB,∠AOC=2∠ABC，
故S△AOBS△AOC=AO·OBsin2CAO·OCsin2B=sin2Csin2B.
∵S△ABMS△AMC=BMMC，S△BOMS△MOC=BMMC，
而S△ABM=S△ABO+SBOM,S△AMC=S△AOC+S△MOC，
由比例性质可得：S△AOBS△AOC=BMMC.
故BMMC=sin2Csin2B.
解后反思：本题常规的解法用正弦定理证的，烦琐，且正弦定理在初中是不作要求的，而以面积之比的角度来考虑，简单、明了.
例2 证明：对任意的x，y,z∈(0,1),都有x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
浅析：此题初看是用代数变形的策略教学论文来证，但对因式分解的能力要求较高，不好把握，不过深究一看，每项乘积的形式，故可将它们看成同一三角形各角处的一块与原三角形的面积之比.
证明：取边长为1的正△ABC，如图2，并在AB、BC、CA上取D、E、F，
使得BD=x，CE=y,AF=z,
则x(1-y)=S△BDES△ABC，①
y(1-z)=S△CEFS△ABC，②
z(1-x)=S△ADFS△ABC.③
①+②+③ 得：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
例３ 如图３，P是△ABC的角平分线AD上的一点，CE∥PB，BF∥PC，交AB、AC的延长线于E、F.求证：BE=CF.
浅析：题条件很少，且这两条线段在两个不同的三角形中，用三角形全等、勾股定理等常用的策略教学论文显然解决，但观察到S△PCB=S△PCF，S△PCB=S△PBE，两三角形的面积相等转化为线段，就可找到BE，CF的联系.
解略.
面积法中常用到的的引理：
１．共边三角形的面积比：设A、D到BC的距离是h
1、h2，则S△ABCS△DBC=h1h2.
２．共角三角形的面积比：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D或∠A+∠D=1800S△ABCS△DEF=AB·ACDE·DF.３．S△ABC=12absinC.
一、面积比的运用
由引理3知，面积的表达式中既有边又有角，故可面积探求边角联系.例1 已知：O是△ABC的外心，AO或AO的延长线交BC于M.
求证：BMMC=sin2Csin2B.
浅析：既然涉及外心O，故作出其外接圆，就可沟通它们的捷径.
证明：如图1，连接半径OB、OC.
由圆周角与圆心角的联系可知，
∠AOB=2∠ACB,∠AOC=2∠ABC，
故S△AOBS△AOC=AO·OBsin2CAO·OCsin2B=sin2Csin2B.
∵S△ABMS△AMC=BMMC，S△BOMS△MOC=BMMC，
而S△ABM=S△ABO+SBOM,S△AMC=S△AOC+S△MOC，
由比例性质可得：S△AOBS△AOC=BMMC.
故BMMC=sin2Csin2B.
解后反思：本题常规的解法用正弦定理证的，烦琐，且正弦定理在初中是不作要求的，而以面积之比的角度来考虑，简单、明了.
二、巧用面积法证明不等式
有些代数式，的项若能看成图形的面积，则它的数量联系可图形间的而生动地出来.例2 证明：对任意的x，y,z∈(0,1),都有x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
浅析：此题初看是用代数变形的策略教学论文来证，但对因式分解的能力要求较高，不好把握，不过深究一看，每项乘积的形式，故可将它们看成同一三角形各角处的一块与原三角形的面积之比.
证明：取边长为1的正△ABC，如图2，并在AB、BC、CA上取D、E、F，
使得BD=x，CE=y,AF=z,
则x(1-y)=S△BDES△ABC，①
y(1-z)=S△CEFS△ABC，②
z(1-x)=S△ADFS△ABC.③
①+②+③ 得：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
三、图形面积几种不同的表示形式探求不同
线段之间的联系例３ 如图３，P是△ABC的角平分线AD上的一点，CE∥PB，BF∥PC，交AB、AC的延长线于E、F.求证：BE=CF.
浅析：题条件很少，且这两条线段在两个不同的三角形中，用三角形全等、勾股定理等常用的策略教学论文显然解决，但观察到S△PCB=S△PCF，S△PCB=S△PBE，两三角形的面积相等转化为线段，就可找到BE，CF的联系.
解略.
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