谈述双曲线与椭圆和双曲线切线有关又一性质

《数学通报》2012年1月第2042号问题：
问题：△ABC中，以B，C为焦点的椭圆分别交AB，AC于 E，D，证明：△ABD，△ACE有相同的内心。
分析：三角形的内心是内角平分线的交点。
如图1，作∠BDA的角平分线DF，则由椭圆的光学性质可知DF为椭圆过点D的切线；同理∠AEC的角平分线为过E点的切线，两切线交于点I，则只需要证明点I为△ABC，△ACE的内心即AI为∠BAC的角平分线。
原问题转换为：
如图2，椭圆+=1（a>b>0）左右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），过椭圆外任意一点P，连结PF1、PF2分别交椭圆于 N，M，分别过N，M两点作椭圆的切线，两切线交于点I，连结PI，证明：PI是的∠F1PF2角平分线。
利用椭圆的参数方程证明。
证：设N，M两点的坐标为N（acos？琢，bsin？琢），M（acos？茁，bsin？茁）则过N点的切线方程为：x+y=1；过M点的切线方程为：x+y=1
联立两方程，即bcos？琢x+asin？琢y=abbcos？茁x+asin？茁y=ab
解得两切线的交点坐标为I（，，）
直线F1N的方程为：bsinx-（acos+c）y+bcsin？琢=0
直线F2M的方程为：bsinx-（acos-c）y-bcsin？茁=0
设点I到直线F1N的距离为d1，由点到直线的距离公式得：
设点I到直线F1M的距离为d2，则
d2=
同理得：b2sin2+（acos-c）2=（a-ccos）2
bsin-（aco茁-c）-bcsin？茁
=得
d2==
所以d1=d2，即PI是∠F1PF2的角平分线。
在双曲线中也有类似的性质：
如图3，双曲线-=1（a>，b>0）左右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），过双曲线外任意一点P，连结PF1、PF2分别交双曲线于N，M，分别过N，M两点作双曲线的切线，两切线交于点I，连结PI，则PI是∠F1PF2的角平分线。
证明：设N，M两点的坐标N（，btan？琢），M（，btan？茁）
则过N点的切线方程为：x-y=1；
过M点的切线方程为：x-y=1，
联立两方程，解得两切线的交点坐标为I（，）
直线F1N的方程为：bsin？琢x-（a+ccos？琢）y+bcsin？琢=0；
直线F2M的方程为：bsin？茁x-（a+ccos？茁）y+bcsin？茁=0
设点I到直线F1N的距离为d1，得：d1=
而b2sin2+（acos？琢+c）2=b2sin2+a2cos2+c2+2accos
=b2sin2+（b2+c2）cos2？琢+c2+摘自：毕业论文的格式www.618jyw.com
2accos（椭圆中a2=b2+c2）
=b2+c2+c2cos2+2accos
=a2+c2cos2+2accos=（a+ccos？琢）2
又bsin-（a+ccos）+bcsin？琢
=
则d1==；
同理得d2==
所以d1=d2，即PI是∠F1PF2的角平分线。
参考文献：
刘才华.数学问题[J].数学通报，2012.1.