椭圆,黄金椭圆与黄金双曲线对偶性质写作策略

通常，称离心率为 5 1+
黄金椭圆与黄金双曲线有奇妙的性质.约定所讨论的椭圆方程均为
，，它们的焦距为
.为两曲线间美妙的类比联系，要条件是
；（2）双曲线为黄金双曲线的充要条件是
2
=，椭圆为黄金椭圆.（2）类似可证，以略.
定理2 （1）椭圆为黄金椭圆的充要条件是
2）双曲条件是
.
=，椭圆为黄金椭圆.似可证，以略. F BC是正方形，四边形OA O
A作x轴的垂线交CB于点D，则四边
是黄金矩形(图1)；（2）
（2）类
定理3 （1）过黄金椭圆的右焦点
线交椭圆于点B，过点B作x轴的平行线交C，过右顶点则四边形形四
1 F作x轴的垂线交双曲线于点B，过点B作x轴的平行线交y轴于点C过右顶，点A作x轴的垂线交CB于点D，
bac
BFcOF aa
OF BC是
正方边形OADC是黄金(图2).证明 （）由定理2得
==OADC是黄金矩形.，故四边形
====，
故易知四边形OC为方形.为
bac
BFcOF aa
，
是黄
（1）设黄金椭圆的右顶点、上顶点与左焦点为∠=°；（2）设黄
金双曲线的右顶点、焦点为虚轴上端点与左A，与
证明 （1）如图3，黄金椭圆的右顶点、上顶点与左焦点为，与)，由定理2知，向量和
?
()
，，，所以
与（1）类似如图4所示，过椭圆>的中心O作径CD，弦PQ与CD平行，M，连接OM得椭圆的另径AB，称AB，CD为
共轭直径，称共轭弦.易证椭圆的任一条直径必平分其共轭弦.
共AB，CD的斜都有着时率，设点M，P的坐标为
P xynm++，由中点坐标公式知Q的坐标为
两式相减可
所以，若椭圆为黄金椭圆，则有
?，反之亦然.移植到黄金双曲
定理5 (1)若黄金椭圆的一对共轭直径有着斜
斜率之积等于离心率的相反数；（2）若黄
率，则其
金双曲线的一对共轭直径有着斜率，则其斜率之积等于离心率.
现在来证明
定理6 （1）过黄金椭圆上不与顶点重合的任一点
??；（2）过黄金双重合的任一点的切线的斜率为
?.
证明 （1）在等式两边对，由定理1知过黄金椭圆上不与顶点的切线斜率为
2222x求导，得
0
?.
定理7 （1）点是黄金椭圆上不与顶点重合的
P
任一点，点P在x轴上的射影为点M，椭交）点P
金双曲线上不与点重合的任一点，点P在x轴上的射影为点M，双曲线在点P处的法线交x轴于点N，则
证明 （1）如图5所示，设点的坐标为
.由定理6知椭圆在点的法线的斜率
，法线方程为
=.
（2）如图6所
定理6知双曲线的法在点P线的斜率
，法线方程为
文献
方玮.关于“黄金椭圆”性质的注记.数学通讯，2009（4）：18