试谈几何构造一元二次方程几何竞赛理由

摘要：构造一元二次方程解题，通常有三种方法；（1）利用根的定义；（2）利用韦达定理；（3）利用根的判别式，而应用较多的是第二种方法，现就第二种方法在证明高中几何竞赛题中的应用举例说明如下.
关键词：构造；方程；研究；竞赛
例1 （2008年全国高中数学联赛吉林省预选赛试题）已知⊙O外接于正方形ABCD，P为AD上的任意一点，求证：
（1）■为定值；
（2）PA·PC = PB2-AB2.
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图1
证明：如图1，由题设知∠APB=∠BPC=45°，所以在△APB和△BPC中，应用余弦定理得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos45°，BC2=PB2+PC2-2PB·PCcos45°，即PA2-■·PB·PA+PB2-AB2=0，PC2-■PB·PC+PB2-AB2=0（因为BC=AB），所以PA，PC是方程x2-■PB·x+PB2-AB2=0的两个根，故由韦达定理得
（1）PA+PC=■PB，所以■=■为定值.
（2）PA·PC=PB2-AB2.
注：本题可通过证明相似三角形求解，不过难度很大，但通过在两个三角形中应用余弦定理写出关系式，再结合韦达定理求得两根之积和两根之和，从而可以简洁明快地求得结果. 此法不仅新颖巧妙，而且符合新课程改革“关于……让学生的思维活跃起来”的理念要求，利于提高学生的专题总结水平，利于学生在总结的过程中开阔思路，巩固所学内容，提高学习和研究专题讲座的水平.
例2 （2005年吉林省吉林市高中数学竞赛题）设△ABC的三边为a，b，c，求证：若∠A=2∠B，则a2=b（b+c）.
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图2
证明：如图2，以C为圆心，以CA=b为半径作弧交AB于点A′，则有CA=CA′=A′B=b，所以在△ABC和△A′BC中，应用余弦定理得AB2-2a·AB·cosB+a2-b2=0，A′B2-2a·A′B·cosB+a2-b2=0，所以AB，A′B是方程x2-2acosB·x+a2-b2=0的两个根，故由韦达定理得AB·A′B=a2-b

2. 因为AB=c，A′B=b，所以bc=a2-b2，即a2=b（b+c）.

注：本题先作辅助圆，再在两个有关的三角形中应用余弦定理写出关系式，推出b，c是某一个一元二次方程的两个根，然后结合韦达定理求出b，c之积，使问题得到证明.
例3 （2008年南昌市高中数学竞赛题）正三角形ABC的两边AB，AC的中点分别为M，N，直线MN与这个三角形的外接圆的一个交点是P，求证：■+■=3.
证明：如图3，设正△ABC的边长为a，则在△PBC中，应用余弦定理得：
a2=PB2+PC2-2PB·PC·cos60°=PB2+PC2-PB·PC. ①
又MN∥BC，MN是△ABC的中位线，所以S△PBC=■S△ABC，所以■·PB·PCsin60°=■a2sin60°，所以PB·PC=■a

2. ② （1）-（2）×2，得PB2-B·PC+PC2=0. ③

因为PB≠0，PC≠0，所以在③式两边分别除以PB2·PC2，得
■2-3■+1=0. ④
■2-3■+1=0. ⑤
所以由④⑤可知，■，■是方程x2-3x+1=0的两个根，故由韦达定理得
■+■=3.
注：本题难度大，证明困难.但运用余弦定理先写出关系式①，然后联系三角形面积公式及中位线定理写出关系式②，再通过变形化简推出④⑤，结合方程根的定义和韦达定理求得■，■的两根之和即可，方法创新，对于培养学生探索精神和创新意识，将会起到积极的作用.
例4 （1996年全国高中数学竞赛预选赛试题）设AP是△ABC的一条角平分线，求证：AP2=AB·AC-PB·PC（斯古登（schoden）定理）
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图4
证明：如图4，过A，G，P作圆交AB于D，因为AP是∠BAC的平分线，所以弧PC=弧PD，所以PC=PD，所以2S△ABC=AB·ACsinA. 又因为∠A=∠BPD，所以2S△DPB=BP·PDsin∠BPD=BP·PCsinA，故在△APD，△APC中，应用余弦定理，得AD2-2AP·ADcos■+AP2-PD2=0，AC2-2AP·ACcos■+AP2-PD2=0（因为PD=PC），所以AD，AC是x2-2APcos■·x+AP2-PC2=0的两个根，故由韦达定理得AD·AC=AP2-PC2，即AD·AC+PC·PD=AP2，所以2S△DPC=（AD·AC+PD·PC）sinA=AP2sinA，所以AB·ACsinA-BP·PCsinA=AP2sinA（因为PC=PD），所以AP2=AB·AC-BP·PC.
注：本题先构造圆，根据题设写出有关关系式，而后在两个三角形中，应用余弦定理写出两个关系式，根据方程根的定义构造出关于AD，AC为根的一元二次方程，最后运用韦达定理写出AD·AC的关系式，结合构造圆得到的关系式，经过三角代数运算得到证明，此法有利于提高学生数学思维的能力.
例5 已知P是正△ABC外接圆劣弧BC上的一点，求证：
（1）PB+PC=PA（1975年美国纽约中学数学竞赛题）
（2）PA2=AB2+PB·PC（2007年河北省邢台市高中数学竞赛题）
（3）PA2+PB2+PC2为定值. （1989年30届IMO预选题特例）
证明：如图5，设正△ABC的边长为a，则在△PAB和△PAC中，应用余弦定理得a2=PB2+PA2-2PA·PBcos∠APB，a2=PC2+PA2-2PA·PCcos∠APC.
因为∠APB=∠学位论文www.618jyw.com
APC=60°，所以PB2-PA·PB+PA2-a2=0，PC2-PA·PC+PA2-a2=0，故PB，PC是方程x2-PAx+PA2-a2=0的两个根，所以由韦达定理得
（1）PB+PC=PA；
（2）PB·PC=PA2-a2，即PA2=AB2+PB·PC；
（3）PA2+PB2+PC2=PA2+（PB+PC）2-2PB·PC=PA2+PA2-2（PA2-AB2）=2AB2（为定值.）
注：本题是一几何题组问题，通过余弦定理和根的定义构造出一元二次方程，再结合韦达定理巧妙证明，方法非常新颖.
综上所述可见，在平时的教学过程中，引导学生适当进行一些专题内容的探索与研究，对于帮助学生理解课本内容，提高解证题水平，启迪思维，拓宽视野，对于在理性思维中培养和发展学生的思维能力，均颇有益处. 解题关键在于应用余弦定理、方程根的定义和韦达定理，结合三角代数、几何知识得证.