谈谈应用题常见一元二次方程运用题类型及解法

摘 要：一元二次方程的应用题可从题设中找出等量关系，设出其中一个量，再表示出另一个量，然后依等量关系列出方程求解。
关键词：一元二次方程；类型；解法
1003-2851（2012）-12-0163-01
利用一元二次方程进行生活实际问题的建模，在初中数学的学习中起着非常重要的作用，尤其在中考试题中也经常以大题的形式呈现，但学生往往因平时对题型及解法掌握不全面而无法对题意进行透彻的分析，导致将其无奈放弃。为了能给大家提供一个系统的复习与掌握，现将此类常见的应用题类型及解法举例如下：

一、传播问题及增长率、下降率问题

(一)传播问题

等量关系：传播源的数量+第一轮被传播的数量+第二轮被传播的数量+……=n轮传播的总数量 [公式：a（1+x）n中a—传播源的数量，b—n轮传播后的总数量，x—每一轮的平均传播率，n—传播的轮数]
例：有两名大学生为了丰富居民的业余生活，分别在两居民区义务指导广场舞，经过大家的两轮广泛传播后，共有242名居民学会了跳舞，问每轮传播中平均1人传播给了多少人跳舞？
分析：设每轮传播中平均1人传播给了人跳舞，则第一轮被两名大学生传播跳舞的人数为2x人，所以第一轮后共有（2+2x）人即[2（1+x）]人已学会了跳舞，在第二轮传播中传播源的数量变为[2（1+x）]人，其传播给了[2（1+x）]人，即第二轮传播后共有[2（1+x）+2（1+x）x]人，即[2（1+x）2]人学会了跳舞，故可列方程为2（1+x）2=242

(二)增长率、下降率问题

公式：a（1+x）n=b中a—变化前数量，b—变化后数量，x—增长率或下降率，n—数据变化的轮数
例：某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25﹪降至1.98﹪，平均每次降息的百分率是多少？（结果写成a﹪的形式，其中保留小数点后两位）
分析：降息前年利率为2.25﹪，经过两次降息年利率变为1.98﹪，故可设平均每次降息的百分率为，则依公式可得2.25﹪（1+x）2=1.98﹪

二、比赛问题（或贺卡问题）

公式：x（x-1）总数量（可重复）或x（x-1）总数量（不可重复）中x—参赛的队数
例1：某俱乐部要举办一次篮球比赛，赛制定为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
分析：典型的不可重复比赛问题，故可直接套用公式，列方程为x（x-1）=15
例2：生物兴趣小组的同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，问该兴趣小组共有多少名同学？
分析：此问题可归结为不可重复的比赛问题，故可直接为x（x-1）182

三、销售问题

公式：售价-进价=利润，一件商品的利润×销售数量=总利润，×100﹪=利润率（盈利时为正，亏损时为负）
例：某商场一次出售两台不同品牌的电视机，其中一台赚了12﹪，另一台赔了12﹪，且这次出售的两台电视机的均为3080元，那么在这次买卖中，商场利润情况如何？
分析：问商场利润如何，需计算每件商品的利润分别为多少，再求出利润和，若利润和为正则为盈利，反之为亏损。可设进价为元，依公式“×100﹪=利润率”直接计算出进价，从而求和。

四、几何问题

这类问题往往要利用几何图形的构成特点及一些基本图形的周长、面积计算公式，巧妙借助等量变换，简化图形形成，从而解决问题。
例1：在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑两条同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540㎡，求道路的宽。
分析：此类问题的特点是修筑小路的面积只与小路的宽度和长度有关，而与位置无关，因此可将摘自：毕业论文结论怎么写www.618jyw.com
小路进行适当的平移，得到简化图形。设小路宽为m，依“要使草坪的面积为540㎡”这一等量关系，列方程（32-x）（20-x）=540求解。

五、一元二次方程应用题的类型还有数字问题、工程问题、速度问题

例1：直角三角形的两条直角边的比是3：4，而斜边长等于10cm，那么这个直角三角形的面积等于多少？
分析：解直角三角形时，往往勾股定理以隐含条件的形式备用，此题已直接给出“直角三角形的两条直角边的比是3：4”这一等量关系，与勾股定理相比后者较为简单，依其所涉及的两个量，即两条直角边，可分别设其为3xcm、4xcm，再依勾股定理可列方程（3x）2+（4x）2=102，求出两直角边，进而求出面积。
例2：用一块长方形的铁片，在它的四个角上各减去一个 边长是4cm的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没有盖的盒子，已知铁片的长是宽的2倍，做成盒子的容积是1536，求这块铁片的长和宽。
分析：此题可容易找出两个等量关系：“铁片的长是宽的2倍”及“做成盒子的容积是1536”，相比前者数量关系更为简单，故设铁片的宽为xcm，则长为2xcm，做成的盒子的底面积就是图中虚线的长方形面积：（2x-4-4）（x-4-4）cm2即（2x-8）（x-8）cm2。盒子的高应等于小正方形的边长4cm，盒子的容积可依“做成盒子的容积是1536”这一等量关系列出方程4（2x-8）（x-8）=1536求解。
总之，我们在解一元二次方程应用题时一定要审清题意，抓住关键，充分利用等量关系（包括隐含的等量关系），明确设计意图，进而列出合理方程求解。