角形,2000年全国高中数学联赛加试平面几何题推广

原题【2000年全国高中数学联赛加试试题】如图1，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E，F，∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M， N是垂足），延长AE交△ABC的外接圆于D.求证：四边形AMDN与ΔABC的面积相等.
文对理由给出了多种证法，归纳是三角形面积等积变换，构造形，正弦定理等技艺解决理由.不同解法在解答的中，都把FM⊥AB，FN⊥AC这一“两垂直”的条件用于证明A，M，F，N四点共圆，以而运用圆的知识解决理由.考虑到平面四点共圆并不“两垂直”这么强的条件，把“两垂直”的条件弱化为两角相等，可证推广依然成立.
推广1如图2，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E，F，∠BAE=∠CAF，在AB，AC边取点M，N，∠AMF=∠FNC，延长AE交△ABC的外接圆于D.求证：四边形AMDN与△ABC的面积相等.
证明 如图连结MN，与AE交于点H.
∵∠AMF=∠FNC=α，∴A， M，F， N四点共圆，∠FMN=∠FAC=∠BAE.
∴∠AHN=∠MAH+∠AMH=∠FMN+∠AMH=∠AMF=α.∵∠BAD=∠CAF，∠ADB=∠ACF，
∴ΔABD～ΔAFC，A ACD=AAFB.∴AB? AC=AD? AF.
又∵A， M，F， N四点共圆，由正弦定理得：
sin∠AAFMF
=2R=sin∠MMNAN
，
∴AF=sMin
N∠sMi
nA
αN
.∴SΔABC=21AB? ACsin∠BAC=12AD? AFsin∠BAC=12ADsMin
N∠sMi
nA
αNsin∠BAC
=12AD? MNsinα=S四边形AMDN
.
∴四边形AMDN与ΔABC的面积相等.
原题的条件中，∠BAE=∠CAF，BE与FC是等角共轭的两段线段.等角共轭还这两个角是在△ABC外面的情形，，在推广1的上，再如下推广：
推广2如图3在锐角三角形ABC的BC边延长线上有两点E，F，∠BAE=∠CAF，在AB，AC边延长线上取点M，N，∠AMF=∠FNP，连结AE与△ABC的外接圆交于D.求证：凹四边形AMDN与△ABC的面积相等.证明 如图，连结MN，与DA延长线交于点H.∵∠AMF=∠FNP=α，
∴A， M， F， N四点共圆，∠AMN=∠AFN.又∵∠MAH=∠BAE=∠CAF，
∴∠AHN=∠MAH+∠AMH=∠NAF+∠AFN
=∠FNP=α.
∵∠ADB+∠ACB=∠ACF+∠ACB=180°，∴∠ADB=∠ACF.又∵∠BAD=∠CAF，∴△ABD～△AFC，AADC=AAFB.
∴AB? AC=AD? AF.又A， M， F， N四点共圆，由正弦定理得：
sin∠AAFMF
=2R=sin∠MMNAN
，
∴AF=sMin
N∠sMi
nA
αN
.
∴SΔABC
=12AB? ACsin∠BAC=12AD? AFsin∠BAC
=12AD
sMinN∠
sMi
nA
αNsin∠BAC=12AD? MNsinα
=S四边形AMDN
.
∴四边形AMDN与△ABC的面积相等.
注 在探讨的中，若点M是在AB边内，而点N是在AC边延长线上，则原题所求四边形与三角形的面积相等了，理由，留待有兴趣读者作的探讨.
文献
叶迎东.2000年全国高中数学联赛平面几何题的三种证法.数学通讯，2001（2）：89
邹发明.2000年全国高中数学联赛加试平面几何题的5种证法.数学教学通讯，2001（11）：48