焦点,圆锥曲线1共线焦半径性质发现、引申和运用写作

摘要：圆锥曲线有统一性质，其共线焦半径的性质，并例说谈它的运用.
词：圆锥曲线；焦半径；性质
圆锥曲线有优美的统一性质，比如统义；统一极坐标方程：ρ=；横（纵）向型圆锥曲线的统一焦点弦长公式：AB=（AB=）（对双曲线为同支焦点弦）…等等. 这些统一性质了椭圆、双曲线、抛物线“本是同根生”的紧密联系，展示了圆锥曲线内在的“统一美”，其本身也具有很高的运用价值. 教师，若能与学生一起探究、推导和运用，则能拓宽学生的知识面，加深学生对圆锥曲线所学知识的理解，还能引发学生对圆锥曲线的好奇心和自主探究意识. 探寻圆锥曲线的共线焦半径性质，并把它统一成用通径表达的形式，再例谈它的运用，以供.
性质的
之旅对如下的学生提问的深思小学英语教学论文：
题目：已知椭圆+=1（a>b>0），过焦点F倾斜角为α的直线l交椭圆于A，B两点，求证：+为与α无关的常数.
浅析：椭圆普通理由，椭圆的的性质，它的证明普通策略教学论文，也用极坐标法解决.
证明一：设A（x1，y1），B（x2，y2），F（－c，0）为左焦点，当α≠90°时，设直线l的方程为：y=k（x+c），联立椭圆方程并消去y得，（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2（k2c2－b2）=0，由韦达定理x1+x2=，x1x2=. 由焦半径公式可得+=+=，e=，代人并化简得+==2·-1，为常数；当α=90°时，+=+=2-

1. 综上，对任意的倾斜角α，+=2·-1，为定值.

证明二：以椭圆左焦点为极点，x轴正向为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=（e为离心率，p为焦点到相应准线的距离），设A（ρ1，α），B（ρ2，π+α），则+=+=+=，ep=，所以+==2-1，为定值.
评注：在处理焦点弦理由中，极坐标法具有显著的优势，它能化难为易，变繁为简.另外，本题的证明还可用直线参数方程法和几何法等，赘述.
探究：题目已经证完了，但就此停下脚步. 上述证明，椭圆中两共线焦半径的倒数之和为常数，引发联想：双曲线和抛物线中也有同样性质呢？即把上述题目椭圆+=1（a>b>0）改成双曲线－=1（a>0，b>0）和抛物线y2=2px后，+仍为常数呢？回答是的，椭圆、双曲线和抛物线在坐标系条件（椭圆的左焦点，或双曲线的右焦点，或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点为极点，x轴正向为极轴）下具有统一极坐标方程ρ=，证明可知，在双曲线和抛物线中+仍为. ：圆锥曲线（同支）共线焦半径的倒数之和为常数，即+=. 但常数的形式在普通方程中并没出现过，学生不太接受. 就想，能否把它表示地更一般些呢？这ep究竟是怎样的量呢？由e，p的几何作用小学数学教学论文知道，在椭圆中e=，p=－c=，即ep=；在双曲线中e=，p=c－=，同样有ep=；在抛物线中e=1，故ep=p.为椭圆和双曲线结果都与有关，而抛物线中只与p有关，同样圆锥曲线，这之间会不会有某种联系呢？对圆锥曲线的仔细浅析，：即为椭圆和双曲线通径长的一半，那么p不也抛物线通径长的一半吗？：ep为圆锥曲线通径长的一半.若设通径长为m，即有ep=，则+即可统一写成=. 受此启发，开头所提到的圆锥曲线统一焦点弦长公式：AB=（AB=）即可写成：AB=（AB=）. 了圆锥曲线共线焦半径的如下：
性质：已知横（纵）向型圆锥曲线的通径长为m，AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，则（1）+=； （2）AB=（AB=）（上述的同支只双曲线）.
评注：学生对通径相对要熟悉，所以表示的形式更被学生理解和记忆.
性质的引申
AB=AF+BF，联立上述（1），（2）求出，经过归纳有如下：
引申1 设F为椭圆的左焦点（或双曲线的右焦点，或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.
引申2 设F为椭圆的右焦点（或双曲线的左焦点，或开口方向为x轴负向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.
引申3 设F为椭圆的下焦点（或双曲线的上焦点，或开口方向为y轴正向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.
引申4 设F为椭圆的上焦点（或双曲线的下焦点，或开口方向为y轴负向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.
性质的运用
有了上述的性质和引申，就方便地解决有关共线焦点弦理由，如：
例1已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若AF=3，则BF=________.
解：由性质1：+=，将AF=3，m=2p=4代人，即得BF=.
例2（2010年重庆理）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B=3，则弦AB的中点到准线的距离为________.
解：由抛物线定义知，弦AB的中点到准线的距离等于焦点弦长的一半，由引申1知3=，即cosα=，所以AB===，以而弦AB的中点到准线的距离为.
例3（2010全国卷Ⅱ理）已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A，B两点． 若=3，则k=（）
A. 1B.
C. D. 2
解：由引申2知，=，即得cosα=，所以斜率k=tanα=. 故选B.
评注：的能地解决一类共线焦点弦理由，可在选择题和填空题中使用. ，探究中运用了类比的策略教学论文，它是数学学习策略教学论文，培养学生革新意识的途径，予以.
同型演练
1. （2009年全国Ⅱ理）已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，若=4，则C的离心率为（）
A. B.
C. D.
2. （2010年全国卷Ⅰ文）已知F是椭圆C的焦点，B是短轴的端点，线段BF的延长线交C于点D，且=2，则C的离心率为________.
3. （2010年辽宁理）设椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，=2.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）AB=，求椭圆C的方程.
答案：

1. A；

2. ；

3. （1）e=；（2）+=