简谈函数数形结合思想在解三角函数中运用结论

【摘要】数形结合思想是重要的数学思想方法之一，“数”和“形”是事物本质的两个表现形式，也是一对矛盾体，理解并领悟这点是数学学习的重要方面，并极有利于解决问题；要注意正确地应用它，才能达到应有的目的.
【关键词】数学教学；数形结合；函数
“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体.正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”. 所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述.因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路.

1.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法

①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性.
例1 函数f（x）=sinx+2sinx，x∈[0，2π]的图像与直线y=k有且仅有2个不同的交点，则k的取值范围是（ ）.
分析 本题根据函数解析式，画出图像，可以直观而简明地得出答案，大大地节约时间，提高解题的效率.
解 函数f（x）=3sinx，x∈[0，π]，
-sinx，x∈（π，2π].
由图像可知：1②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，揭示出数与式的本质特征.
例2 计算：sin20°-sin40°cos20°-cos40°.
分析 本题直接用三角公式计算较繁！如能由sin20°-sin40°cos20°-cos40°的结构形式联想斜率公式，数形结合，以形助数，即可巧妙探求.
本式可以看成A（cos40°，sin40°），B（cos20°，sin20°）两点连线的斜率，如图，借助单位圆，则∠AOB=20°，∠OAB=80°，∠MOB=20°，∠MOA=40°，设AB倾斜角为α，则
α=∠MOA+∠OAB=120°，∴tanα=tan120°=-3.
③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并揭示隐含的数量关系.
例3 求方程lgx-sinx=0的解的个数.
分析 此方程解的个数为y=lgx的图像与y=sinx的图像的交点个数.
因为sinx≤1， lgx≤1，所以0在平面直角坐标系中作出两个函数的图像，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点.

2.用数形结合求函数的最值

求函数的最值的类型题有很多种，例如：给出函数，根据其定义域求最值，这种题型与求函数的值域是相类似的.另一种求最值的题型则是给出x，y所满足的方程，再求另一个关于x，y的函数式的最值，我们常用数形结合来解这类问题，正确地作出图像，必要时还要配合一定的计算.
例4 求函数y=2+sinx3+cosx的最大值和最源于：www.618jyw.com
小值.
分析 对于这种特殊的函数，应注意观察，利用其特殊的性质，把函数看作是定点（-3，-2）与单位圆上的点P（cosx，sinx）连线的斜率.
解 y=2+sinx3+cosx=sinx-（-2）cosx-（-3），这可以看作是定点A（-3，-2）与单位圆上的点P（cosx，sinx）连线的斜率.因此，y的最值就是当直线AP与单位圆相切时的斜率.
∵单位圆x2+y2=1中斜率为k的切线方程为y=kx±1+k2 ，
由于该切线过点A（-3，-2），故-2=-3k±1+k2，
∴k=3±3

4.∴kmax=3+34，kmin=3-3

通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在了.数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转化成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化成数量关系来解决.