试论一道高考试题错解引发深思
更新时间：2024-01-24
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导数是高中新课程的新增内容，它也是探讨函数性态的有力工具。近年来高考中，关于导数的题目是常见的。然而，学生在解决这些不足的历程中常常由于个别环节的疏忽而导致失误丢分。下面就2010年高考文科数学全国一卷中的第21题在解答中的典型错误谈谈自己所深思的不足，以提升解题的准确性。
题目 （2010年全国Ⅰ文21）已知函数
（Ⅰ）当 时，求 的值
（Ⅱ）若 在 上是增函数，求 的取值范围
其中第（Ⅰ）问是容易作答，就不再阐述了。第（Ⅱ）问是关于求字母参数取值范围的不足，也是学生容易出错的不足。笔者对学生的解答历程记录如下：
解：第（Ⅱ）问.
由于 在 上是增函数，
所以在 上有成立，
即，也就是 ，
以而 时，有 .
令 ,
（1）当 时，显然成立;
（2）当 时，则 , 有;
（3）当 时，则 , 有;
综上可知 .
然而，正确答案是 ．整体看这个解答的思路是没有不足的，那么求解历程中是哪个环节出了不足?
事实上，关于导数及其运用这一部分常会遇到两类题目：一类是已知函数求其单调区间；另一类是已知函数的单调区间，求函数剖析式中字母参数得范围．2010年全国Ⅰ文21题第二问就属于第二类不足．以这两类数学不足的本质来看，它们又是紧密联系的．为了对本论文中的错解进行深入探讨，现以下面两个不足进行探讨：
1已知函数求其单调区间
例1确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解：函数 的导数为 ．
由 ,解得 或 .
由此，函数 在 和 是增函数.
由 ,解得0＜x＜2．
由此，函数 在 是减函数．
这道题的求解是容易的．但稍微留心的学生便会产生一个疑问：可不可以写成函数 在 和 是增函数．函数 在 是减函数．答案是肯定的．只不过是解答中所列的不等式 和 中没有等号罢了，由此解出的不等式也没有等号．
关于这部分内容，北师大版高中数学选修1—1，第四章导数运用中“导数与函数的单调性”这一节指出：
导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的联系：
如果在某个区间内，函数的导数 ，则在这个区间上，函数 是增加的；
如果在某个区间内，函数的导数 ，则在这个区间上，函数 是减少的．
由于学生对教材知识理解的不到位，由此很多学生在解此类不足时候，所列出的不等式都是 和 ，很少去深思能否写成 和 ．
事实上，在数学浅析中导数与函数的单调性这部分内容有下面两个定理一个推论是需要教师注意的：
定理1若函数 在 内可导，则 在 内递增（递减）的充要条件是， ．
定理 2 若函数 在 内可导，则 在 内严格递增（递减）的充要条件是：
① 对一切 ，有;
② 在 内的任何子区间上 .
推论设函数 在 内可导．若，则 在 内严格递增（严格递减）．
例2函数 的单调区间．
解：由 ，可知函数 在区间 上是递增的．
但还有这的错误解答：
由 ，解得 或 .
所以函数在 和 上单调递增.
产生这样错误的理由在于对教材中给出的导函数的符号与函数的单调性之间的联系理解不清楚，对教材中的结论生搬硬套．需要注意得是，上面的推论只是严格单调的充分条件．如 ，虽然 ，但它在整个数轴上是严格递增的．以函数的连续性和凹凸性看， 点是拐点，虽然在 点两侧的函数导数值符号相反，由于 在 上连续，由此在整个数轴上，其图像是递增的．
例3函数 ，求其单调区间．
解：因为定义域是 , ，
所以函数 在 上是递减的．
其实这个题目中 也可以写成 ，只是在这个分式中分子不为零，所以写成 更好一些．
以上面的不足中，可以看出用导数求解函数的单调区间时，所列的不等式应该是 和 更严密一些，至于是否 ，可以结合函数的定义域及式子本身的特点来进一步选取．这样以来，对于“已知函数的单调区间，求函数剖析式中字母参数得范围”的不足就不会出现漏解、错解的现象．
2已知函数在某一区间单调，求函数剖析式中字母范围
例4已知 ，函数 在 时是单调递增函数．求 的取值范围．
解法1：因为函数 在 时是单调递增函数,
所以 在 成立，
所以 ，而在 上 ，
由此 .
解法2：由 ,
解得 或 ，
所以函数 的单调增区间是 和 .
由于 在 是单调递增函数,
所以 ,
得 ,
由此 .
对于解法1，如果不注意列出 ，则势必造成漏解现象．
对于解法2，看到 在 时是单调递增函数，但并不是说 是函数 的单调增区间，只说明 可能是这个函数的单调区间的一部分．
3对2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（Ⅱ）问错误的深思
3.1 正如例4的解法2，对题意有准确的理解．2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（Ⅱ）问中： 在 上是增函数，并不是说 是函数 的单调增区间， 可能是函数 的单调增区间的一部分．
3.2 以例1、例2中可看到，对于求函数的单调区间这样的不足，是用 （ ），还是 （ ），对于不足的求解是没有影响的．而例3需要考虑函数的定义域及其导函数的特点，所以写成 比写成 更好一些．
3.3 由例4，可以看到对于已知函数在某一区间单调，求函数剖析式中字母范围这类不足，就要认真浅析、多加深思是用 （ ），还是 （ ）．再看2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（Ⅱ）问，这道题目所给的函数是一个多项式函数，其定义域就不需再考虑了，在实数范围内它的图像也是连续的，其解答中最容易出现错误的就是列出 （ ），导致所求字母 的范围漏解，而列出的正确的式子应该是 （ ）．
题目 （2010年全国Ⅰ文21）已知函数
（Ⅰ）当 时，求 的值
（Ⅱ）若 在 上是增函数，求 的取值范围
其中第（Ⅰ）问是容易作答，就不再阐述了。第（Ⅱ）问是关于求字母参数取值范围的不足，也是学生容易出错的不足。笔者对学生的解答历程记录如下：
解：第（Ⅱ）问.
由于 在 上是增函数，
所以在 上有成立，
即，也就是 ，
以而 时，有 .
令 ,
（1）当 时，显然成立;
（2）当 时，则 , 有;
（3）当 时，则 , 有;
综上可知 .
然而，正确答案是 ．整体看这个解答的思路是没有不足的，那么求解历程中是哪个环节出了不足?
事实上，关于导数及其运用这一部分常会遇到两类题目：一类是已知函数求其单调区间；另一类是已知函数的单调区间，求函数剖析式中字母参数得范围．2010年全国Ⅰ文21题第二问就属于第二类不足．以这两类数学不足的本质来看，它们又是紧密联系的．为了对本论文中的错解进行深入探讨，现以下面两个不足进行探讨：
1已知函数求其单调区间
例1确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解：函数 的导数为 ．
由 ,解得 或 .
由此，函数 在 和 是增函数.
由 ,解得0＜x＜2．
由此，函数 在 是减函数．
这道题的求解是容易的．但稍微留心的学生便会产生一个疑问：可不可以写成函数 在 和 是增函数．函数 在 是减函数．答案是肯定的．只不过是解答中所列的不等式 和 中没有等号罢了，由此解出的不等式也没有等号．
关于这部分内容，北师大版高中数学选修1—1，第四章导数运用中“导数与函数的单调性”这一节指出：
导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的联系：
如果在某个区间内，函数的导数 ，则在这个区间上，函数 是增加的；
如果在某个区间内，函数的导数 ，则在这个区间上，函数 是减少的．
由于学生对教材知识理解的不到位，由此很多学生在解此类不足时候，所列出的不等式都是 和 ，很少去深思能否写成 和 ．
事实上，在数学浅析中导数与函数的单调性这部分内容有下面两个定理一个推论是需要教师注意的：
定理1若函数 在 内可导，则 在 内递增（递减）的充要条件是， ．
定理 2 若函数 在 内可导，则 在 内严格递增（递减）的充要条件是：
① 对一切 ，有;
② 在 内的任何子区间上 .
推论设函数 在 内可导．若，则 在 内严格递增（严格递减）．
例2函数 的单调区间．
解：由 ，可知函数 在区间 上是递增的．
但还有这的错误解答：
由 ，解得 或 .
所以函数在 和 上单调递增.
产生这样错误的理由在于对教材中给出的导函数的符号与函数的单调性之间的联系理解不清楚，对教材中的结论生搬硬套．需要注意得是，上面的推论只是严格单调的充分条件．如 ，虽然 ，但它在整个数轴上是严格递增的．以函数的连续性和凹凸性看， 点是拐点，虽然在 点两侧的函数导数值符号相反，由于 在 上连续，由此在整个数轴上，其图像是递增的．
例3函数 ，求其单调区间．
解：因为定义域是 , ，
所以函数 在 上是递减的．
其实这个题目中 也可以写成 ，只是在这个分式中分子不为零，所以写成 更好一些．
以上面的不足中，可以看出用导数求解函数的单调区间时，所列的不等式应该是 和 更严密一些，至于是否 ，可以结合函数的定义域及式子本身的特点来进一步选取．这样以来，对于“已知函数的单调区间，求函数剖析式中字母参数得范围”的不足就不会出现漏解、错解的现象．
2已知函数在某一区间单调，求函数剖析式中字母范围
例4已知 ，函数 在 时是单调递增函数．求 的取值范围．
解法1：因为函数 在 时是单调递增函数,
所以 在 成立，
所以 ，而在 上 ，
由此 .
解法2：由 ,
解得 或 ，
所以函数 的单调增区间是 和 .
由于 在 是单调递增函数,
所以 ,
得 ,
由此 .
对于解法1，如果不注意列出 ，则势必造成漏解现象．
对于解法2，看到 在 时是单调递增函数，但并不是说 是函数 的单调增区间，只说明 可能是这个函数的单调区间的一部分．
3对2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（Ⅱ）问错误的深思
3.1 正如例4的解法2，对题意有准确的理解．2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（Ⅱ）问中： 在 上是增函数，并不是说 是函数 的单调增区间， 可能是函数 的单调增区间的一部分．
3.2 以例1、例2中可看到，对于求函数的单调区间这样的不足，是用 （ ），还是 （ ），对于不足的求解是没有影响的．而例3需要考虑函数的定义域及其导函数的特点，所以写成 比写成 更好一些．
3.3 由例4，可以看到对于已知函数在某一区间单调，求函数剖析式中字母范围这类不足，就要认真浅析、多加深思是用 （ ），还是 （ ）．再看2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（Ⅱ）问，这道题目所给的函数是一个多项式函数，其定义域就不需再考虑了，在实数范围内它的图像也是连续的，其解答中最容易出现错误的就是列出 （ ），导致所求字母 的范围漏解，而列出的正确的式子应该是 （ ）．
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