谈特殊化特殊化思想在高考中运用

摘 要：著名美国数学家波利亚把一般化、特殊化及类比并列称为“获得发现的伟大源泉”. 恰当地运用特殊化思想解答数学问题往往能收到事半功倍的效果.
关键词：特殊到一般；化归特殊问题；特值验证；着眼最值情况
问题是数学的心脏，那么解题的思想方法就是数学的灵魂. 美国著名数学家波利亚把一般化、特殊化及类比并列称为“获得发现的伟大源泉”. 波利亚在《数学与猜想》中列举了许多生动的事例，说明数学界的先辈们如何从对简单、特殊事物的考察中发现普遍的规律，也就是说运用特殊化思想导致了许多伟大的发现.
盘点2012年的高考试题及模拟试题，遵循能力立意，引领少教多悟的原则. 别具匠心地设计了一些立意高远、背景公平、内涵丰富、设问通俗、解答灵活的创新试题，如何在比较短的时间内，快捷、准确地得到解决问题的思路及答案，恰当地运用特殊化思想往往会收到事半功倍的效果.本文结合一些典型例子试图对特殊化思想，做一番剖析.
[?] 从特殊到一般
特殊问题像一把钥匙、一面镜子，可以为我们看清一般问题助一臂之力，为探索解题途径提供线索，并成为解决问题的突破口.
例1 （镇海中学2012年数学测试卷第10题）设R表示源于：论文提纲范文www.618jyw.com
一个正方形区域，n是一个不小于4的整数. 点X位于R的内部（不包括边界），如果从点X可引出n条射线将R划分为n个面积相等的三角形，则称点X是一个“n维分点”. 由区域R内部的“100维分点”构成集合A，“60维分点”构成集合B，则集合{x
x∈A且x?B}中的元素个数是（ ）
A. 1560 B. 2320
C. 2480 D. 2500
分析：令正方形的边长为1，考虑n=4的情形，从点X可引出4条射线将R划分为4个面积相等的三角形，即每一个三角形的面积为，也就是说点X到每一边的距离相等，得4维分点只有一个.
考虑n=8的情形，从点X可引出8条射线将R划分为8个面积相等的三角形，即每一个三角形的面积为. 由对称性，这8条射线分别与一组对边组成4个面积为的三角形，4个三角形按2，2；1，3分组. 得点X到每一组边的距离比可以为1∶1，1∶

3. 所以只要将正方形分成4×4的方格，正方形内9个格点就是8维分点.

由上可得，4n维分点的个数为（2n-1）（2n-1）. 即集合A，B的元素分别为49×49个，29×29个，去掉重复的81个，得2320个.
评注：本题通过考察n=4，n=8的情形，发现4，8维点的特征，进而得到n维点的个数. 坚持以考察特殊情形作为探索的起点，从中寻求启示，是解决这类问题的有效手段.
例2 （福建2012年高考数学理科试题第19题）椭圆E：+=1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=. 过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
（1）求椭圆E的方程.
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q. 试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
分析：（1）+=1.
（2）假设坐标平面内存在定点M，由图象的对称性可知点M在x轴上.
取点P（0，），则Q（4，）. 得以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0），M2（3，0）.
所以若符合条件的点M存在，且点M的坐标必为（1，0）. 以下只要证明·=0即可.
评注：圆过定点问题由于涉及三个量k，m，xM . 要在k，m的变化中找到一个常量xM，难度较大. 通过选取已知椭圆上的两个特殊点，作两个圆得定点，然后再证明，是解决圆过定点问题的一个十分有效的方法.
[?] 化归特殊问题
将一般问题化归为特殊问题是处理数学问题的一个有效途径，要实现有效地化归，必须抓住两个环节：其一，通过观察，恰当地选出一种基本问题，并进行解答；其二，在化归上下工夫，有时还需做一番精巧的构思，才能把各种一般问题化为特殊问题进行解决.
例3 （自编）已知二面角α-l-β的大小为50°，P为空间中任意一点，过点P且与平面α和平面β所成角都是30°的平面γ的个数为（ ）
A. 2个 B. 3 个
C. 4个 D. 5个
分析：不妨假设P∈l，过点P作直线l⊥γ，则过点P与α，β所成角都是30°的平面γ的个数问题就转化为过点P与α，β所成角都是60°的直线l的条数问题.
若过点P作a⊥α，b⊥β，则a，b所成角为50°，则过点P与α，β所成角都是60°的直线l的条数问题就转化为过点P与a，b所成角都是30°的直线l的条数问题. 过点P作a1∥a，b1∥b，则过点P与a，b所成角都是30°的直线的条数问题就转化为过点P与a1，b1所成角都是30°的直线问题. 如图1，以点P为顶点，直线a1，b1为轴作顶角为60°的圆锥，由图可知两个圆锥侧面有且只有两条交线.
评注：通过作面的垂线，把原题转化为过定点与两直线所成定角问题. 构造特殊的模型圆锥是解决这类问题的一个最直观的方法.
例4 （宁波2012年十校联考数学试题第22题）已知函数f（x）=（x3+2x2+5x+t）e-x，t∈R，x∈R.
（1）当t=5时，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若存在实数t∈[0，1]，使对任意的x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整数m的最大值.
分析：（2） f（x）≤x?t≤xex-x3-2x2-5x，问题转化为对任意的x∈[-4，m]，xex-x3-2x2-5x≥0. 显然，当x=1时，左边=e-8<0，不成立. 当对任意的x∈[-4，0]，xex-x3-2x2-5x≥0?ex-x2-2x-5≤0. 对任意的x∈[-4，0]，ex≤1，x2+2x+5≥4. 即ex-x2-2x-5≤0成立. 因此整数m的最大值为0. 源于：论文结论www.618jyw.com