关于圆周圆周长极限策略与教学生

摘要：走出校园学生很有可能会将定理、公式、概念等显性的知识忘记，但其中隐性的知识如数学思想方法是不会忘记的。数学教学活动主要是对学生进行思维训练。古今中外人们在研究圆周长的过程中留下了丰富的数学思想方法即极限的思想方法，在小学的教学中体现极限的思想方法，能让学生学到丰富的数学知识。
关键词：圆周长；极限方法；教学
1674-9324（2013）07-0101-03
纵观数学史，圆周长和圆周率的计算历来被数学家们所青睐，尤其是探究圆周长的计算过程中所体现出来的思想方法——极限的思想方法，被视为一种重要的思想方法，其应用领域广泛，也是我们高等数学中一种重要的方法之一。圆是一个曲线图形，正是因为对圆周长的研究，使曲线与直线的转化问题成为了可能。恩格斯曾说过：“直线和曲线在微分运算中终于等同起来了。”也就是因为有了极限这个桥梁，人们的思想在从“直”、“曲”，“有限”、“无限”中得到了飞跃。

一、古今圆周长的计算方法

对圆周长的测量始于人们的生产实践活动。早在《周髀算经》中就有“周三径一”的记载，这就说明人们在生产实践活动中已经能够用实际测量的方法认识到圆周长与直径之比是一个常数，为3，而此时这个比值只是个粗略的近似值。虽然掌握了圆周长的计算方法，但是取值粗略的圆周率在实际应用过程中存在着比较大的误差。由此人们开始了积极探索圆周长计算的过程。

(一)古代圆周长的计算方法

我国的数学家刘徽不仅仅满足于这个结果，他发现圆周率等于3的误差比较大，从而改进了实际操作所带来的弱点，采用理论的方法来计算圆周长，开创了计算圆周长的新方法。他在割圆术中提到，用圆的内接正多边形的周长无限逼近圆的周长来求得圆周长的近似值。
他首先将圆分割成六等份，做一个内接于圆的正六边形，然后在这个内接正六边形的基础上，将圆分割成十二等份、二十四等份，接着再继续加倍地分割下去，最后得到一个圆的内接正6×2n边形。当内接正6×2n边形的边数不断的增加时，内接正6×2n边形的周长越来越接近于圆的周长。他指出当边数不断地增加到最后时“则圆合体无所失矣”。即当正6×2n边形的边数趋向于无穷大时，它的周长就趋向于圆的周长。
对圆周长的具体计算可以如下：
取一个半径为R的圆，先做一个内接于圆的正6×2n边形，若将这个正摘自：论文查重www.618jyw.com
6×2n边形的边长记作an，将它的周长记作 Pn。在此基础上将内接正6×2n边形的边数加倍增加，形成一个内接于圆的正6×2n+1边形，那么它的边长就记作an+1，周长记作Pn+1。现在我们就可以来计算圆的周长。
如图1所示：
在一个半径为R的圆O里面，AB为内接正6×2n边形的边长；AC为内接正6×2n+1边形的边长，所以记作AB=an；AC=an+1。C是圆弧AB的中点，连接CO，可知CO平分AB，即D为AB的中点。因为AO=OB；AD=DB，所以CD⊥AB。
由于AC2=AD2+CD2 =AO2-OD2+CD2
=AO2-OD2+（OC-OD）2=AO2-OD2+OC2-2OC·OD+OD2
=AO2-OC2-2OC·OD
因为CD⊥AB，所以三角形ADO是一个直角三角形，由勾股定理得：OD=■=■
又因为AC=an+1，AO=OC=R，所以代入AC2=AO2-OC2-2OC·OD
得到：a2n+1=R2+R2-2R·OD
=2R2-2R·OD=2R2-2R·■
从而得到an与an+1的一个关系式：a2n+1=2R2-2R·■。
例如取半径R=1，代入上述式子得：a2n+1=2-■。
当n=0时，圆的内接正多边形为正六边形，那么可得a0=R=1，代入上述的关系式：a12=2-■。又因为a0=1，所以得到：a12=2-■，a1≈0.51763809。相应地可求得内接正十二边形的周长p1=12a1=

6.21165708。

同理，由于a22=2-■，a1≈0.51763809，所以得到： a22≈0.068148347，a2≈0.261052384。也可求得内接正二十四边形的周长P2=24a2=

6.265257216。

而且应用上面的关系式，可以用递推的方式继续求得正6×2n边形的边长及其周长。我国的数学家刘徽就是以他创造的“割圆术”为指导，用圆的内接正九十六边形的周长来代替圆的周长，求得了圆周率等于

3.14，被称为是徽率，这个圆周率的精确度相对比较高。

在数学史上，刘徽是第一个用极限的方法解决数学问题的人。他通过用无限加倍分割圆的方法来得到圆的周长。他的理论是建立在无限基础上的，但与高等数学中的极限方法相比它还是一种比较朴素的极限方法。

(二)高等数学中圆周长的求法

与刘徽的割圆术相比，高等数学中求圆周长的计算公式逻辑性比较严密。它首先取一半径为R的圆，然后将圆平均分割成n等份，得到一个圆内接正n边形和外切正n边形，用圆内接正多边形与外切正多边形的周长无限逼近圆周长的方法求得圆周长。当n趋向于无穷大时，圆的内接正多边形与外切正多边形的周长就趋向于圆的周长。
若取一半径为R的圆，用Cn表示内接正n边形的周长，C表示为圆的周长，Tn表示为外切正n边的周长。那么可以得到Cn﹤C﹤Tn。
先做圆的内接正n边形，如图2所示：
AB为圆O的内接正n边形的边长，E为AB的中点。由此可得OA=OB=R，∠AOB=■，AE=EB。因为OA=OB，AE=EB，所以OE⊥AB，得到∠AOE=∠BOE=■。
根据正弦定理可得：AE=AO·sin∠AOE=Rsin■，而AB=AE+EB，AE=EB，AE=Rsin■，所以AB=2AE=2Rsin■。源于：论文参考文献格式www.618jyw.com