探索机械能“机械能定理”推导与运用

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高中物理中都学过动能定理，其内容为：物体受所有外力所做功的总和等于物体动能的增加。我们也学过机械能守恒定律，其内容为：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。由此推导，如果物体除重力做功外还有其他外力做功，那么物体的机械能就不再守恒。对此，我们模仿动能定理的方式可以推导出一个“机械能定理”来，这样便于我们处理涉及“机械能改变量”的物理问题。
首先我们试推导“机械能定理”。机械能守恒定律中描述，只有重力做功，物体的机械能守恒，其中重力做功只是把物体的动能转化为重力势能或把重力势能转化为动能，重力做功不改变机械能。若一个物体，除了受重力做功外还受其他外力做功，那么物体在运动过程中机械能就不再守恒，他的机械能的增加（减少）量由这个外力做功量决定，这个外力在运动过程中对物体做多少正功（负功）物体的机械能就增加（减少）多少。所以有：一个物体在多个力作用下运动，除重力做功以外，其他外力对物体做多少功，物体的机械能就改变多少。这就是我们效仿动能定理推导归纳的“机械能
定理”。
在很多涉及机械能变化的能量问题考题中，我们可以使用“机
械能定理”轻松地解决相关问题。下面我们列举两个例题试用一下“机械能定理”。
例1.从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h，设上升和下降过程中空气阻力大小恒定为Ff，下列说法正确的是（ ）
A.小球上升的过程中动能减少了mgh
B.小球上升和下降的整个过程中机械能减少了Ff　h
C.小球上升过程中重力势能增加了mgh
D.小球上升和下降的整个过程中动能减少了Ff　h
解析：例1的正确选项是（C），其中A、D选项研究小球的动能改变，我们可以应用动能定理来处理这两个问题，小球上升过程合外力做功为-（mg-Ff）h，所以，上升过程小球动能减少（mg-Ff）h，故A项错；小球上升和下降的整个过程中合外力做功-2Ff　h，所以小球动能减少了2Ff　h，故D项错；B项研究小球机械能的改变，我们可用“机械能定理”解决问题，小球上升和下降的过程中机械能的减少等于除重力外其他外力所做功的总和，小球在上升和下降的
过程中，除重力做功外只有阻力Ff做功，且W外=-2Ff　h，所以，机械能减少了2Ff　h，故B错；C选项研究小球重力势能改变，小球上升过程中重力做功为-mgh，所以，小球的重力势能增加mgh。
例2.一带电小球在重力和电场力的共同作用下，自空中某点P运动到Q的过程中，重力做功-3J，电场力做功1J，则上述运动过程中小球的（ ）
A.重力势能增加3J B.电势能增加1J
C.动能增加1J D.机械能增加1J
解析：例2的正确答案为（A、D），下面我们分别分析各个选项：A项研究小球重力势能变化，题目中已知小球从P到Q过程中重力做功-3J，可推出重力势能增加3J，故A正确；B项研究小球电势能变化，题目中已知小球从P到Q过程中电场力做功1J，所以小球的电势能减少1J，故B项错；C项研究小球动能变化，小球从P到Q的过程中重力做功为-3J，电场力做功1J，则合外力做功为
-2J，所以动能减少2J，故C项错；D项研究小球机械能的变化，这样就可以使用我们推导的“机械能定理”。经分析，除重力对小球做功外，只有电场力做功，且已知电场力做功为1J，所以小球的机械能增加1J，故D项正确。
由以上两个例题与解析可以说明，在运动力学中，只要考题中提及研究对象的机械能改变，均可利用我们推导的“机械能定理”求解。
（作者单位　山西省武乡中学校）