简论几个概率论中几个概念之间联系中心

【摘要】互不相容、相互独立、线性无关是概率论中三个非常重要的概念，但很多学生对这些概念理解不深刻，甚至混淆它们之间的关系。因此，我们首先对这些概念做出解析，从而帮助学生理解其本质含义。在此基础上，进一步探讨它们之间的关系，使学生分清这些概念之间的联系和区别。最后，给出具体的计算实例，以便让学生对这些概念产生更形象的认识。
【关键词】概率论互不相容相互独立线性无关
1006-9682（2012）11-0035-03
【Abstract】Mutually exclusion， independence and linear independence are a few very important concepts in probability theory， but many students cannot understand these concepts very profound， and even confuse the relationship between them. Therefore， this paper first makes some explanation of these concepts， in order to help students to understand their essential meanings. On this basis， the relationships between these concepts are explored， so that the students can distinguish the links and difference betwee自考论文www.618jyw.com
n these concepts. Finally， examples are given to enable students to produce a more vivid understanding.
【Key words】Probability theoryMutually exclusionIndependenceLinear independence
一、引 言
互不相容、相互独立和线性无关是概率论中三个非常重要的概念，只有真正掌握好这些概念才能学好概率论。根据多年的教学经验，我们注意到很多学生对这些概念理解的不是很深刻，甚至混淆它们之间的关系。因此，我们首先对这些概念做出解析，从而帮助学生理解其本质含义。在此基础上，进一步探讨它们之间的关系，使学生分清这些概念之间的联系和区别。最后，给出具体的计算实例，以便让学生对这些概念产生更形象的认识。

二、几个重要概念

1.事件的互不相容

定义1：设A、B是两个事件，如果AB=?，则称A、B为互不相容事件（或互斥事件）。
【概念解析】事件A、B互不相容的本质含义在于，A、B不能同时发生，即：如果A发生了，则B一定不会发生；反之亦然。

2.事件的相互独立性

定义2：设A、B是两个事件，如果有以下等式成立：
P（AB）=P（A）P（B）
则称事件A、B相互独立。
为了更好地理解上述概念，首先给出事件相互独立的几个充要条件。
定理1：设A、B是两个事件。
（1）若P（A）>0，则A、B相互独立的充分必要条件是P（B|A）=P（B）；
（2）若A、B相互独立，则 与B、A与 、 与 都相互独立。
由定理1可以得到以下推论：
推论2：设A、B是两个事件，且1>P（A）>0，则A、B相互独立的充分必要条件是P（B|A）=P（B| ）。
证明：“ ”若A、B相互独立，则由定理1（2）知 与B也相互独立，且1>P（ ）=1-P（A）>0。再由定理1（1）知P（B|A）=P（B），且P（B| ）=P（B），故：P（B|A）=P（B| ）。
“ ”若P（B|A）=P（B| ），由 及P（B| ）
= ，可得：P（AB）=P（A）P（B）。
因此，事件A、B相互独立。
证毕。
【概念解析】由推论2，事件A、B相互独立的充要条件是P（B|A）=P（B| ）。其本质含义在于，不论事件A会不会发生，事件B发生的概率都不会受到任何影响；反之，由对称性，不论事件B会不会发生，事件A发生的概率也不会受到任何影响。也就是说，事件A是否发生和事件B是否发生，两者是相互独立的，不会互相影响。

3.随机变量的相互独立

定义3：设X、Y是两个随机变量，若对任意的实数x，y均有：P﹛X≤x，Y≤y﹜=P﹛X≤x﹜P﹛Y≤y﹜。
即：F（x，y）=FX（x）FY（y）。
则称随机变量X、Y相互独立。
【概念解析】随机变量X、Y相互独立，本质上是指X的取值和Y的取值是相互独立的，不会互相影响。若令A={X≤x}，B={Y≤y}，则X、Y相互独立当且仅当P（AB）=P（A）P（B），即事件A、B相互独立。

4.随机变量的相关性

定义4：设（X，Y）为二维随机变量，若E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}存在，则称它为X与Y的协方差，记为Cov（X，Y），即Cov（X，Y）=E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}。
称 =
为随机变量X与Y的相关系数。
定理3：设随机变量X和Y的相关系数存在，则：①| |≤1；②| |=1的充要条件是X与Y以概率1成线性关系，即P{Y=aX+b=1}，其中a，b（a≠0）为常数。论文下载中心www.618jyw.com