函数,复数,利用数形结合思想解题
更新时间：2024-01-27
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在解决数学理由时，理由的背景，使“数”的理由“形”去考虑，而“形”的理由也可“数”去深思小学英语教学论文，思想策略教学论文来解决理由的对策，称为数形的思想策略教学论文。下面举例。
例1 已知fx是定义在R上的奇函数，且在区间（0，＋∞）上是增函数，若f1＝0，a＞0，且a≠1，解不等式flogax＜0。
浅析 由题意fx是定义在R上的奇函数，且在区间（0，＋∞）上是增函数，由f1＝0，可得fx的大致图像，如图1所示，fx在（-∞，0）上是增函数，且f-1＝0，以而在a＞0，且a≠1的条件下解不等式flogax＜0。
解 如图1，由题意可知，fx在（-∞，0）上是增函数，且f-1＝0，所以flogax＜0＝f1，或flogax＜0＝f-1，所以x>0,logax>0,logax0,logax<0,logax<-1。 又因为a＞0，且a≠1，解不等式组得x|1
例2 设a>0，解不等式x2+1-ax≤1。
浅析 不等式变形为x2+1≤ax＋1。设y＝x2+1，无理函数的图像是等轴双曲线y2-x2=1的上支。y＝ax＋1表示斜率为a且过定点（0，1）的直线系。y2-x2=1的一条渐近线为y＝x，这样就用数形的策略教学论文求解。
解 （1）当a≥1时，直线y＝ax＋1与曲线y＝x2+1除了交点（0，1）外无其他交点，以图2-1得：当x≥0时，x2+1≤ax＋1成立。
（2）当0所以，当0点评 把不等式理由转化为剖析几何理由后，直线y＝ax＋1的斜率a是变量，分类讨论求解。
例3 已知an是等差数列，an＞0，且公差d≠0；bn是等比数列，bn＞0，且公比q＞1。
（1）若a1＝b1，a2n+1＝b2n+1，请比较an+1与bn+1的大小，并证明你的。
（2）若a1＝b1，a2＝b2，当n＞2时，请比较an+1与bn+1的大小，并证明你的。
浅析由数列的通项公式，知等差数列anan＝nd＋（a1-d），所以图像都在同线上，等比数列bnbn＝b1n，所以图像在一“指数函数”图像上。函数图像讨论数列项之间的大小联系。
解等差数列an＞0，所以d＞0，即an是单调递增数列；bn＞0，且公比q＞1，所以bn单调递增数列。（1）可得图3-1，此时an+1＞bn+1；由（2）可得图3-2，此时an+1＜bn+1。
（1）由a2n+1＝b2n+1，得a1＋2nd＝b1q2n，
nd＝12（b1q2n-a1）。an+1-bn+1＝a1＋nd-b1qn
＝a1＋12（b1q2n-a1）-b1qn＝a12（q2n-2qn＋1）
＝a12qn-12＞0，所以an+1＞bn+1。
（2）由a1＝b1，a2＝b2，可得a1＋d＝b1q，d＝a1（q-1）。 bn+1-an+1＝b1qn-a1-nd＝a1qn-a1-na1（q-1）＝a1［（qn-1）-n（q-1）］，1＋q＋q2＋…＋qn-1＝1-qn1-q，所以qn-1＝（q-1）（1＋q＋q2＋…＋qn-1）。所以bn+1-an+1＝a1［（q-1）（1＋q＋q2＋…＋qn-1）-n（q-1）］＝a1（q-1）（1＋q＋q2＋…＋qn-1-n）。q＞1，所以qi＞1（i＝1，2，…，n-1）。所以1＋q＋q2＋…＋qn-1＞1＋1＋…＋1＝n。所以bn+1-an+1＞0，即bn+1＞an+1。
点评 本题是先函数的图像判断出an+1和bn+1的联系，后，再给出证明。
例4 集合M＝z|z-1≤1,z∈C，N＝{z|z-1-i=z-2,z∈C}，集合P＝M∩N。
（1）集合P在复平面上所对应联系表示的图形；
（2）求集合P中复数模的最大值和最小值。
浅析 （1）可复数的向量表示及模的几何作用小学数学教学论文确定集合M、N、P表示的图形；（2）其几何作用小学数学教学论文求解。
解 （1）由z-1≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以E(1，0)为圆心，1为半径的圆的内部及边界；由z-1-i＝z-2可知，集合N是以点（1，1）和（2，0）为端点的线段的垂直平分线l，，集合P是圆截得直线l所得一条线段AB，如图4所示。
（2）圆方程为x2+y2-2x＝0，直线l方程为y=x-1。解方程组x2+y2-2x=0,y=x-1。 得A（2+22,22），B（2-22,-22）。所以OA＝2+2，OB＝2-2，点O到直线l的距离为22，过O向l引垂线，垂足在线段BE上，22＜2-2。故集合P中复数模的最大值为2+2，最小值为22。
点评 本题是复数的几何作用小学数学教学论文，将复数理由转化为剖析几何理由，曲线的性质探讨复数理由。
例5 设x>0,y>0，x2-y2=1，求yx-2的取值范围。
浅析 由题意，yx-2的几何作用小学数学教学论文是双曲线x2-y2=1在象限的点（x，y）与定点（2，0）的连线的斜率，由图像即可求出其取值范围。
解 画出双曲线x2-y2=1(x>0,y>0)，如图5所示，在图像上任取一点P(x,y)，设Q（2，0），连接PQ，由图可知，直线PQ的倾斜角的范围为（π4,π）。所以kPQ>1或kPQ<0。而kPQ=y-0x-2，所以yx-2的取值范围为（-∞，0）∪（1，＋∞）。
点评 形如y-bx-a的几何作用小学数学教学论文是动点（x,y）与定点（a，b）连线的斜率，用数形的思想策略教学论文探讨y-bx-a的取值范围是常用的策略教学论文。此题若不用数形的策略教学论文，而用解方程组及解不等式的策略教学论文求解计算会很复杂。
（作者单位：广东省东莞市大朗中学）
一、数形思想解决函数理由
于函数与图像之间的对应联系，探讨函数的性质是常用的解题策略教学论文。运用思想策略教学论文理解题意，寻找解题思路，检验解题结果。例1 已知fx是定义在R上的奇函数，且在区间（0，＋∞）上是增函数，若f1＝0，a＞0，且a≠1，解不等式flogax＜0。
浅析 由题意fx是定义在R上的奇函数，且在区间（0，＋∞）上是增函数，由f1＝0，可得fx的大致图像，如图1所示，fx在（-∞，0）上是增函数，且f-1＝0，以而在a＞0，且a≠1的条件下解不等式flogax＜0。
解 如图1，由题意可知，fx在（-∞，0）上是增函数，且f-1＝0，所以flogax＜0＝f1，或flogax＜0＝f-1，所以x>0,logax>0,logax0,logax<0,logax<-1。 又因为a＞0，且a≠1，解不等式组得x|1
二、运用数形思想解决不等式理由
有些不等式理由转化为某些函数形式，再经过变形转化为方程的形式，然后方程与曲线的联系解决理由。例2 设a>0，解不等式x2+1-ax≤1。
浅析 不等式变形为x2+1≤ax＋1。设y＝x2+1，无理函数的图像是等轴双曲线y2-x2=1的上支。y＝ax＋1表示斜率为a且过定点（0，1）的直线系。y2-x2=1的一条渐近线为y＝x，这样就用数形的策略教学论文求解。
解 （1）当a≥1时，直线y＝ax＋1与曲线y＝x2+1除了交点（0，1）外无其他交点，以图2-1得：当x≥0时，x2+1≤ax＋1成立。
（2）当0所以，当0点评 把不等式理由转化为剖析几何理由后，直线y＝ax＋1的斜率a是变量，分类讨论求解。
三、运用数形思想解决数列理由
数列的通项公式和前n项和公式看做关于正整数n的函数，函数与图像的联系，“图形”讨论数列理由。例3 已知an是等差数列，an＞0，且公差d≠0；bn是等比数列，bn＞0，且公比q＞1。
（1）若a1＝b1，a2n+1＝b2n+1，请比较an+1与bn+1的大小，并证明你的。
（2）若a1＝b1，a2＝b2，当n＞2时，请比较an+1与bn+1的大小，并证明你的。
浅析由数列的通项公式，知等差数列anan＝nd＋（a1-d），所以图像都在同线上，等比数列bnbn＝b1n，所以图像在一“指数函数”图像上。函数图像讨论数列项之间的大小联系。
解等差数列an＞0，所以d＞0，即an是单调递增数列；bn＞0，且公比q＞1，所以bn单调递增数列。（1）可得图3-1，此时an+1＞bn+1；由（2）可得图3-2，此时an+1＜bn+1。
（1）由a2n+1＝b2n+1，得a1＋2nd＝b1q2n，
nd＝12（b1q2n-a1）。an+1-bn+1＝a1＋nd-b1qn
＝a1＋12（b1q2n-a1）-b1qn＝a12（q2n-2qn＋1）
＝a12qn-12＞0，所以an+1＞bn+1。
（2）由a1＝b1，a2＝b2，可得a1＋d＝b1q，d＝a1（q-1）。 bn+1-an+1＝b1qn-a1-nd＝a1qn-a1-na1（q-1）＝a1［（qn-1）-n（q-1）］，1＋q＋q2＋…＋qn-1＝1-qn1-q，所以qn-1＝（q-1）（1＋q＋q2＋…＋qn-1）。所以bn+1-an+1＝a1［（q-1）（1＋q＋q2＋…＋qn-1）-n（q-1）］＝a1（q-1）（1＋q＋q2＋…＋qn-1-n）。q＞1，所以qi＞1（i＝1，2，…，n-1）。所以1＋q＋q2＋…＋qn-1＞1＋1＋…＋1＝n。所以bn+1-an+1＞0，即bn+1＞an+1。
点评 本题是先函数的图像判断出an+1和bn+1的联系，后，再给出证明。
四、运用数形思想解决复数理由
复数的几何作用小学数学教学论文及向量表示，把复数与平面几何和剖析几何有机地联系在一起，复数几何表示了数形的思想策略教学论文。例4 集合M＝z|z-1≤1,z∈C，N＝{z|z-1-i=z-2,z∈C}，集合P＝M∩N。
（1）集合P在复平面上所对应联系表示的图形；
（2）求集合P中复数模的最大值和最小值。
浅析 （1）可复数的向量表示及模的几何作用小学数学教学论文确定集合M、N、P表示的图形；（2）其几何作用小学数学教学论文求解。
解 （1）由z-1≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以E(1，0)为圆心，1为半径的圆的内部及边界；由z-1-i＝z-2可知，集合N是以点（1，1）和（2，0）为端点的线段的垂直平分线l，，集合P是圆截得直线l所得一条线段AB，如图4所示。
（2）圆方程为x2+y2-2x＝0，直线l方程为y=x-1。解方程组x2+y2-2x=0,y=x-1。 得A（2+22,22），B（2-22,-22）。所以OA＝2+2，OB＝2-2，点O到直线l的距离为22，过O向l引垂线，垂足在线段BE上，22＜2-2。故集合P中复数模的最大值为2+2，最小值为22。
点评 本题是复数的几何作用小学数学教学论文，将复数理由转化为剖析几何理由，曲线的性质探讨复数理由。
五、运用数形思想解决剖析几何理由
剖析几何的思想数形，在解题时要将数形的思想策略教学论文运用到圆锥曲线的方程与曲线的联系中。例5 设x>0,y>0，x2-y2=1，求yx-2的取值范围。
浅析 由题意，yx-2的几何作用小学数学教学论文是双曲线x2-y2=1在象限的点（x，y）与定点（2，0）的连线的斜率，由图像即可求出其取值范围。
解 画出双曲线x2-y2=1(x>0,y>0)，如图5所示，在图像上任取一点P(x,y)，设Q（2，0），连接PQ，由图可知，直线PQ的倾斜角的范围为（π4,π）。所以kPQ>1或kPQ<0。而kPQ=y-0x-2，所以yx-2的取值范围为（-∞，0）∪（1，＋∞）。
点评 形如y-bx-a的几何作用小学数学教学论文是动点（x,y）与定点（a，b）连线的斜率，用数形的思想策略教学论文探讨y-bx-a的取值范围是常用的策略教学论文。此题若不用数形的策略教学论文，而用解方程组及解不等式的策略教学论文求解计算会很复杂。
（作者单位：广东省东莞市大朗中学）
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