简谈题记高职数学教学中“题记”功能与实践

【摘要】题记是能够让学生积极组织学习，并因此而积极参与学习过程的一种行之有效的方法.题记应该设计成学习者的认知挑战，以引发学习者的兴趣，促进他们获取知识、发展有效地解决问题和高级思维技能.题记有正解题记、错解题记、正误辨析、解题评注等.通过对高职数学教学的实际工作经验，总结了教学中“题记”的功能与具体实践方法，收到了事半功倍的效果，并提高了学生的学习兴趣和学习效率，也大大地提高了教学质量.
【关键词】高职数学；题记；实践

一、题记背景

早在2002年国务院就召开了全国职业教育工作会议，会议指出要努力扩大职业教育规模，大力发展农村劳动力技能培训，提高农村劳动力整体素质，所以职校入学变得没有门槛了，由此职校学生学习素质之差是可想而知的.2012年秋季对我校618名高职新生进行了数学摘自：毕业论文翻译www.618jyw.com
学习情感特点的问卷调查，结果有75.1%的学生表现为讨厌数学，有13.7%的同学甚至表现为愤怒.面对如此的学生，即使再怎么样地降低教学目标，也是枉然.以至于职高数学课堂启而不发，自启自发现象成了一种普遍的课堂现象.“没有教不好的学生”给教师带来更多的压力与震撼.扪心自问：“既然没有教不好的学生，那么这些学生数学成绩差，不学数学，肯定是我的责任.”寻思：创设怎样的课堂才能让学生轻松、乐意地参与数学课堂学习呢？建构自主的认知是以情感为动力，由学习者主动建构的，是情感与认知的融合.那么寻找有效的“写好题记”是使学生对数学学习产生兴趣的首要任务.

二、题记方法

(一)错解题记——雪中送炭

就是要找出错误的原因，分析错误类型，看其属于知识性错误、能力性错误、心理性错误，还是属于审题、计算等非智力因素造成的错误，并且要把它们写下来，再给出正确解答.
例1 已知 f（x）=mn+x，A={x|f（x）=x}={3}，B={x|f（x+6）=-x}，则B=.
有些同学的解法：把3代入方程f（x）=x ，可得到 m=3n+9，代入f（x+6）=-x ，得到x2+（6+n）x+3n+9=0，即（x+3）[x+（n+3）]=0，但此时不知道怎么求n的值.
评讲后一些同学只是填上正确答案{-3，3}，不写出正确的解题过程，一段时间以后自己也不知道答案是怎么得来的.
事实上，集合A 只有一个解还意味着Δ=0，即n2+4m=0，此式与m =3n+9联立解得n=-6，从而可得B 的解为{-3，3}，只要把这一过程写在题目的边上，以后即使忘了，看一下题记就可以明白了.
一名同学在原题边上写道：“要从已知{x|f（x）=x}={3}中读出两个信息：二次方程f（x）=x有重根3，这样就会联想到Δ=0，于是得到两个关于m，n 的等式，本例表明认真审题的重要性.”
不仅要写出正确答案，还要能做到触类旁通，在上例的基础上又有一道考题：“设集合A={x|x2+2x+a=0}，则A 中的所有元素之和为.”
仍有不少同学没有发现重根时集合只有一个元素了，只想到韦达定理，填“-2”，丢掉了另一个可能情况a=

1.由此我们看到写错解题记的重要性了.

又例如：函数y=sin2x+acos2x的一条对称轴为x=-π8，则a=.
不少同学用辅助角公式，经过复杂的运算得到a=±1的错误答案.其实，选取两个横坐标关于x=-π8的对称点，比如，x=0和x=-π4，则f（0）=f-π4，立刻得到a=-1.
一名同学在题记中写道：“原来解答此类问题时只想到正弦曲线的对称轴是过图像最高（低）点且垂直于x轴的直线，这样计算量大，解出的错误还要进行检验，稍不留神就会出错.而用赋值法特别简单，这种方法在解客观题时经常使用.”
写错解题记要因人而异、因题而异，结合自己的错误情况和对问题的理解程度，写出错因分析和正确解答，并且尽可能把问题推广到一般情形，做到举一反三.

(二)正解题记——锦上添花

题目解对了还要写什么题记？甚至有些同学在考试后老师评讲时都不认真听，认为没有什么可听的.其实，这种想法也是不对的.老师可能会给出多种解法，有些解法是你没有想到的，有些方法比你的解法更简洁，也许有些方法并没有你的解法简洁，但其思维过程会给你一些有益的启示；老师还会把某个习题进行纵向或横向发散，得到一些变式，或把习题推广得到一类问题的解法或一般结论，如此等等，都值得你认真地听讲，这也是写正确题记的目的所在.
例2 在椭圆x225+y29=1上求一点P，使它到右焦点的距离是它到左焦点距离的4倍.
大多数学生的解法是：设P（x，y），由题意得方程组，再解方程组.
从道理上说，这种解法是无可厚非的，但少数同学对解二元二次方程组有一种“先天”的畏惧感，要正确解出这个方程组又谈何容易.有些同学由于选用不合理的解题方法，导致算不下去，只能中途搁笔，不了了之.能解对确属不易，这种“不怕吃苦的精神”值得肯定，但要知道这种方法着实不可取.本题的简洁解法应该是运用椭圆的定义求解.
由椭圆定义得|PF1|=2，|PF2|=8，坐标化后平方相减立刻得到答案.两种解法的计算量不可同日而语，这是题记的好内容.

(三)正误辨析——如虎添翼

有时某种方法解题功能强大，往往会不分情况滥用，以致错了自己还不知为什么.这时有必要针对这种情况写题记，选择相关的典型题目作比较，理清它们之间的相互关系，从本质上理解问题，达到举一反

三、触类旁通之功效.

例3 已知抛物线的方程是y=x2，当b为何值时，直线y=2x+b与抛物线有两个不同的交点、两个相同的交点、没有交点？
此题求解的通法是把直线方程代入曲线方程组成方程组，消去一个未知数得到一元二次方程，由Δ>0、Δ=0、Δ<0来求解，但这种方法在解下面的问题时就不灵了. 设曲线C1：x2+y2=1（x≥0），C2：y=x+b，当b为何值时，C1与C2有两个不同的交点、两个相同的交点、没有交点？
原因何在？通过认真思考后同学们不难发现，把y=x+b代入x2+y2=1，平方后范围扩大了，一名同学在解完上述两题之后的题记中写道：求曲线交点的一般方法是设曲线C1：f1（x，y）=0，C2：f2（x，y）=0，则曲线C1与C2有交点的充要条件是方程组f1（x，y）=0f2（x，y）=0有实数解.而方程组通常要转化为一元二次方程f（x）=0或g（x）=0，这种转化是否等价，是解答正确与否的关键，有时方程中的变量是受到条件制约的，忽视这一点就可能犯错误，自己一时还难以发现，这时就要运用数形结合等方法来帮助求解.
判别式不灵的地方在解析几何中还有吗？ 有！要求直线和抛物线、双曲线只有一个交点，仅用判别式还不够，当直线和抛物线对称轴平行或直线与双曲线的渐近线平行时，仅用判别式都不能得到正确结论，还需要数形结合或采用其他特殊方法来求解.
老师在解题的小结中写道：“直线曲线两相交，判别式是一个宝；辩证观点看问题，特殊情况要周到；数形结合补漏洞，关键时刻莫忘掉.”这正好可以作为此类问题的题记.

(四)题解评注——清楚明白

写题记的目的就是要把自己曾经做错的、容易混淆的、容易遗忘的内容记录下来，因而就要写得清楚明白，当过一段时间后，对一些模糊的知识通过阅读题记就能很快理解.
例4 若数列{an}的前n项摘自：毕业论文怎么写www.618jyw.com
和Sn=pnan（n∈N*），且a1≠a2，求常数p，并证明数列{an}是等差数列.
解 令n=1，得a1=pa1.（已知an和Sn的关系，一定要考虑n=1时的情形）若p=1，则S2=a1+a2=2a2，那么a1=a2，与已知矛盾.（过程虽短，却是完整的反证法）∴p≠1，a1=0，a2≠0.
由S2=a2=2pa2，得p=12（a2可以约去），∴Sn=n2·an .从而当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2·an-n-12·an-1 （n=1时，a0无意义），∴ann-1=an-1n-2 （n≥3，n=1，2时无意义），∴ann-1=an-1n-2=…=a32=a21（分母比分子下标小1），∴an=（n-1）a2=a1+（n-1）·a2（n≥3），上式对n=1，2时也成立（不能忘记n=1，2时的情形），所以，数列{an}是以a1=0为首项，a2为公差的等差数列 （a2是不为0的常数，可以作为公差）.
本题的题解评注把解题的注意事项都写清楚了，即使过了一段时间以后自己忘记了，再看一下评注也就明白了.有些同学对此可能不以为然，但不知你是否有过当时听懂或会做，过一段时间就想不起来的经历，如果有，写好题记能让你在较长时间后立刻恢复“记忆”，从面使你失而复得；同时，写好题记还能培养你思维的逻辑性、条理性以及书写表达能力.

三、题记实践

(一)师生互动

教师应定期地将学生平时的数学题记收上来进行集中批阅，然后将学生题记中出现的典型的案例再结合数学作业中出现的问题在课堂上进行讲评.这种讲评是数学教学的一个重要环节.讲评时要充分肯定学生的题记，发挥题记的作用，从而提高讲评的效率，要充分挖掘问题作业的潜在价值.在题记讲评时，应从学生已经做过的问题作业入手，通过分析学生作业和题记中暴露出来的各种问题，让学生明白自己所做作业的问题出在哪里，再从学生熟悉的问题情境出发，通过巧妙的延伸与变式，引入新问题的思考与探究，激发学生的求知，调动学生思考的积极性，引导学生更加深入理解作业和题记的潜在价值，这样做对减轻学生平时的学习负担，提高学生的数学学习兴趣起到积极的作用.

(二)生生互动

合作学习是目前世界上很多国家普遍采用的一种富有创意和实效的教学模式.现代心理学研究表明，学生与周围环境的交互作用，对于学习内容的理解和掌握起着至关重要的作用.互动教育观认为，有效的学习是通过人际互动产生的.
在课堂上教师有意识地辟出一段时间来，将学生分成几个学习小组，交流彼此的题记和平时的错题本.学生在表述、讨论和相互评议的过程中，利用学生与学生之间语言和非语言的交流，可以对学生彼此的学习表现提供反馈，更利于学生认知活动的形成，进而敦促学生，特别是为缺乏学习兴趣的学生进行学习提供良好的环境和机会.利于转化“学困生”，从而取得大面积提高教学质量的效果.这样让学生与学生之间互动交流彼此的题记，能提高学生的观察和体验能力，在彼此的交流中让学生能用他人的眼光，而不是仅仅用自己的眼光，从自己的观点出发，认识情境和发现问题，懂得从不同角度、不同角色去观察思考问题.教师在课堂上对这种生与生之间的互动方式加以科学利用，还能充分开发和利用教学中的人力资源，为课堂教学注入新的活力.
写出有特色的题记，有助于达到掌握解题方法、提高自己分析问题和解决问题能力的目的.更重要的是学会反思、学会总结这样一种使你终身受益的学习方法.写题记和写日记一样，自己可以有充分发挥的余地，写自己所想、所思、所得，写出自己的个性和风格，当然，最后也会写出自己的水平和数学成绩.此外还有归纳错题本、建立数学档案、写数学日记等，可以以文字形式记录，也可以用图表方式标记，这样会受到事半功倍的学习效果.