试议导数浅谈在高考中函数与导数几种解法技巧

摘要：求函数与导数高考中常出源于：www.618jyw.com
现的类型题，已知函数的单调区间，求函数的参数问题，我们常采用数形结合、函数与方程的转化思想，另外，探究不等式恒成立的问题时常采用分离变量、导数法求之，其次，利用函数的性质求解函数中的参数问题。
关键词：函数图象；数形结合；导数法；分离变量
近几年来在高考当中，函数与导数的考查是高考的重要内容之一，其理论和应用涉及数学的各个分支，是贯彻高中数学的一条主线，因此函数中的思想方法将是培养学生知识转化能力的桥梁。现对函数与导数在高考中的解法常用的几种类型作如下归类。
类型一：已知函数的单调区间，求函数中的参数问题。
解题方法：函数y=f（x）在区间（a ，b）上是增函数（或者减函数），则其导数f（x）1≥0在（a， b）上恒成立。若函数f（x）是三次函数，则导致f（x）1为二次函数转化为二次方程f（x）1=0的根与区间（a， b）的关系，常用数形结合，函数的转化思想求解。
例题1：（08年全国I节选）：已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，其中a∈R，（Ⅱ）设函数f（x）在区间（- ，- ）内是减函数，求a的取值范围。
解题分析：因为函数在区间（- ，- ）内是减函数，则f（x）1≤0，由于二次函数g（x）=3x2+2ax+1的图象开口向上，所以g（x）=3x2+2ax+1的类型二：探究函数型不等式恒成立的问题。
总结：对于任意x≥0有f（x）≥g（x）或者f（x）≤g（x）恒成立，其中g（x）含有参数a，试确定其参数a的取值范围，常采用分离变量、利用导数法求解。
解题方法：若a≥f（x）恒成立 a≥f（x）max，a≤f（x）恒成立 a≤f（x）min。
例题3：（2010全国新课标）：设函数f（x）=ex-1-x-ax2
（Ⅱ）若为x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围。
解：当x≥0时，f（x）≥0恒成立，即ex-1-x-ax2恒成立，
于是（ex-1-x）1≥（ax2）1在x≥0上恒成立。
即：ex-1≥2ax，在（x∈[1，+∞））上恒成立，再求导得：
（ex-1）1≥（2ax）1恒成立，所以ex≥2ax恒成立，于是a≤（ ex）min= e0= ，故a的取值范围（-∞， ]。
类型三：讨论参数变量求解函数的单调区间及极值问题。方法：第一步：先考虑函数的定义域求函数的导数。第二步以导数的零点的存在性进行讨论。第三步：当导数的零点存在多个时，讨论它们的大小，第四步：利用穿针法，第五步：求出原函数的单调区间和极值。
例4：已知：函数f（x）=（x +ax-2a +3a）e （x ），其中a ，求函数f（x）的单调区间和极值。
解：f （x）=（2x+a）e +（x +ax-2a+3a）e =（x+2a）（x-a+2）e .
令f （x）=0得：x=-2a或x=a-

2.f（-2a）=3ae ，f（a-2）=（4-3a）e

讨论：当-2a>a-2时既：当a0；当a> 时f （x）<0
所以当a< 时f（x）的增区间为（ ）和（ ），单调减区间为（a-2，-2a）
极大值为f（a-2）=（4-3a）e ，极小值为f（-2a）=3ae .
参考文献：
《2013百题大过关高考数学》张瑞炳著华东师范大学出版社。
《高考洞穿数学解答题核心考点》张永辉主编北京航空大学出版社。