对于解法“中点弦”不足一种简捷解法

所谓“中点弦”问题是关于圆锥曲线上两点的中点（已知或待求）一类问题的统称，在解析几何中与“中点弦”有关的问题是一类很典型的问题，解决这类问题的方法比较多，但大多数方法的计算量比较大，本文试图通过一些实例，介绍一种简捷的解法，供大家参考。
例1 椭圆 + =1的弦AB被点M（2，1）平分，求弦AB所在的直线方程。
分析：本题的关键是求出弦AB所在直线的斜率。
解法一：设直线的斜率为k，显然k存在且k≠0，直线方程与椭圆方程联立，消去变量y，得方程（1+4k2）x2+8k（1-2k）x+16k（k-1）=0 ①
方程①的两根x1，x2分别是直线上两点A，B的横坐标。
由已知条件有：x1+x2=- =4，解得k= .
所以弦AB所在的直线方程为x+2y-4=0.
解法二：设A、B两点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程x2+4y2=4，得x21+4y21=4，x22+4源于：论文写作www.618jyw.com
y22=4，
两式相减得
（x1-x2）（x1+y2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0
又 =2， =1，
所以kAB= =- =- .
所以弦AB所在的直线方程为x+2y-4=0.
点评：以上两种解法中，解法1是解决“中点弦”问题的常规解法，思路清晰，但计算量大，解法2则采用“设而不求”的方法，也是解决“中点弦”问题的典型解法，计算量较解法1要小。有一种更简捷的方法，下面介绍给大家。
如图1，点M是线段AB的中点，设M（x0，y0），A（x0+m，y0+n），B（x0-m，y0-n），这时有两个非常简单有趣的结论：
（1）kAB= ；
（2）|AB|=2 .
解题时若能充分利用这两个结论，则可以轻松、快捷、准确地解决“中点弦”的有关问题。
解法三：设A（2+m，1+n），B（2-m，1-n），
代入椭圆方程 + =1中，得
+ =1， + =1.
两式相减，得 + =0，
所以kAB=- =- ，
所以弦AB所在的直线方程为x+2y-4=0.
下面再举个例子，以便熟悉这种解法。
例2 过定点A（q，0）的动直线l交抛物线y2=2py（p>0）与M，N两点，求弦MN的中点P的轨迹方程。
解：设动点P（x，y），M（x+m，y+n），N（x-m，y-n），
把M，N两点的坐标代入抛物线方程y2=2px（p>0）中，得（y+n）2=2p（x+m），（y-n）2=2p（x-m），
两式相减得4ny=4mp，
所以kMN= = ，
又kMN=kAP，
所以 = ，即y2=2p（x-p）