探讨到底是谁阿凡提“分马”到底是谁之过？

摘要：数学故事“阿凡提分马”是经典趣题。由于后人画的图没有具体说明是否要分完，学生根据按分数的意义和按比例分配的方法来解决，都没有错。阿凡提用“借马分马”的方法巧妙地解决，也无过。老人要表达的真实意思是非常确定“要分完”。如果要说“谁之过”，应该是后人把故事的原意曲解了，这种曲解的实质是要判断问题本身是有限问题还是无限问题。其实“阿凡提分马”是一个无限问题，在数学上要作出合理的解释，需要用到数列、极限等知识。
关键词：小学数学；经典趣题；阿凡提分马；无限问题；数列的极限
1671—0568（2013）24—0074-03
北师大版义务教材六年级上册第四单元《比的认识》，在《比的应用》第56页有一道经典趣题——数学故事“阿凡提分马”。我们仔细阅读了教材配套的《教师教学用书》第76页上是这样写的：“阿凡提分马的故事，可能有的学生以前听说过，可以让学生自己把故事讲出来。教学时，教师可以引导学生算出三个人分得的马：老大6匹，老二3匹，老三2匹。教师还可以进一步引导学生认识到++并不等于1。” 很明显，编者把数学故事“阿凡提分马”安排在《比的应用》的目的，是要求学生用比例分配的方法解决问题，同时让学生明白利用分数的意义去分马是不正确的。
在《中小学数学》2011年第9期上江瑞华老师写了《“质疑”后的“精彩”——思考》一文，他从实践的视角展示了数学故事“阿凡提分马”的成功教学。通过尝试、质疑、探究和比较之后产生的“精彩”——按“分率”计算关注的是各部分与总量的关系，按比例分配关注的是各部分之间确定的比例关系。这种引导学生“源于：科技论文写作www.618jyw.com
质疑”的教学方法值得借鉴。但江老师在比较过程中只分析两种解法的结果和方法的区别，而没有“质疑”为什么同样的问题用不同的方法会得到不同的结果，即对于数学的本质没有深入分析。而在《中小学数学》2012年第4期上，徐虹萍、梁晓明老师的《非要教孩子如此“灵活”吗》一文中，对这一问题的解题思路产生的原因进行了深入的分析，这种追根究底的做法值得欣赏。但我们认为对这一问题的分析还不够透彻，不由想到以下几个问题，值得再次探讨。

一、到底是谁之过？

1.学生有过吗？江瑞华老师在教学中学生出现了两种解法。

解法1：老大分得1l×=5匹；老二分得11×=2匹；老三分得1l×=1匹。这种解法是根据按分数的意义来分的，但是并没有把11匹马分完，只分了11匹马的++=，还剩下11匹马的1-=，即11×=匹马没有分。
解法2：老大、老二、老三分得马的比是：：，把这个比化简后得6：3：2，用按比例分配的方法来分，每份为11÷11=1匹，老大分1×6=6匹，老二分l×3=3匹，老三分1×2=2匹，刚好分完。
从上面的分析可以看出学生的两种解法都没有错，因为题中的图并没有具体说明要把11匹马分完，所以学生用解法1无之过。同时，在江老师引导下，学生把题中的图意看作要分完，所以学生只能用按比例分配的方法来解决，解法2也没有错。
2.阿凡提有过吗？再看阿凡提有错吗？没有。因为阿凡提用古典的“借马分马”之方法来解决这一问题。
解法3：阿凡提自己牵来一匹马，说加上他的这匹马就可以分了。原来是：11+1=12匹，大儿子12×=6匹；二儿子12×=3匹；三儿子12×=2匹，刚好分完。剩下的12-6-3-2=1匹马，依然物归原主，阿凡提牵走了，圆满地解决了难题，真可谓天衣无缝，人们不得不佩服阿凡提的聪明才智。
徐老师等认为，江老师“借阿凡提的口，擅作主张把剩下的也给分了，大儿分得更多了，不知道这样的结果小儿同意否？ ”我们不赞同这一观点，理由是当阿凡提觉察到“原来的遗嘱提出的分配的比相加的和不为1”，但又要遵照“遗嘱”的本意——“要把11匹马分完，又不能把一匹马割成几块来分”（具体见下文），所以阿凡提戏剧化地创设一个情境，巧妙地用“借马分马”的方法把11匹马分完而已，并没有“擅作主张把剩下的也给分了”，可见阿凡提并没有错。
徐老师等又认为，“其实，要想不割马也行啊，大儿付出匹马钱带回6匹，二儿付出匹马钱带回3匹，小儿付出匹马钱带回2匹，这样岂不既公平又欢喜？” 徐老师等想法明显与他们自己的观点自相矛盾，因为徐老师只是把解法1中剩下“匹马”换成“匹马钱” 而已，在本质上没有什么不同。即便按照徐老师这样的做法，三兄弟留下的++=匹马钱，怎么办？“是作为办后事的费用”，“还是交遗产税”，或是把钱继续分呢！那可真“也不得而知”了。
3.老人有过吗？再来看看老人的遗嘱，有没有问题呢？从图中的画面上看，老人的确没有说一定要把11匹马分完。但这一情境图是后人根据老人的遗嘱画的，是否符合他的本意，可以从“老人的遗嘱”本身进行分析。“老人的遗嘱”的原意用准确的语言表达应该是：“我的11匹马全留给你们，老大得一半，老二得，老三得。不得杀马，更不能伤兄弟感情！” 也就是说老人要表达的意思一定是“要把11匹马分完，又不能把一匹马割成几块来分”，而不是“剩下的是作为办后事的费用还是遗产税”。我们可以试想，如果遗嘱中不是“11匹马”，而是“11亿元人民币”，三兄弟会不会分完呀？按照分数的意义来分，就有“亿元人民币”没有分，三兄弟难道不会继续分吗？在现实中是不可能的。显然，上文徐老师换成的“三兄弟留下的匹马钱”，还得继续分吧！
有人认为“老人的遗嘱”有漏洞，是无解之题，“借马分马”的解题方法也是悖论，这是人们在理解上出现的偏差。表面上从数据分析，由于11不是2、4、6的公倍数，所以在不杀马的情况下就无法分了，成为一道无解之题。实际上如果将老人遗嘱中的“11”改为“12”的话，那将是一道无解之题！虽然12是2、4、6的最小公倍数，但是大儿子分得12×=6匹；老二分得l2×=3匹；老三分得12×=2匹，还剩下12-6-3-2=1匹，怎么办？这样将永远分不完了。 综上所述，由于题中的图没有具体说明是否要把11匹马分完，学生根据按分数的意义与按比例分配的方法来解决，都没有错。阿凡提用古典的“借马分马”之方法巧妙解决了这一问题，也无过。老人在遗嘱中要表达的真实意思是“要把11匹马分完”，非常正确。如果要说“谁之过”，应该是后人把数学故事“阿凡提分马”的原意曲解了。

二、为什么同样的问题用不同的方法会得到不同的结果呢？

比较上面的三种解法，解法2是按比例分配的方法来分的，解法3是阿凡提“借马分马”来分的，都是刚好分完，三兄弟每人分得的马数分别为6匹、3匹和2匹。但解法1是按分数的意义来分的，三兄弟每人分得的马数分别为5匹、2匹和1匹。这是为什么呢？同样的问题用不同的方法为什么会得到不同的结果呢？问题出在哪里呢？
难道是解法1的方法错了吗？很明显，解法1并没有把11匹马分完，只分了5+2+1=10匹马，还有11-10=匹马没有分完，三兄弟中没有一个能够牵走整匹马了，一定要把一匹马割成几块来分了，显然这样的分法违背了“老人的遗嘱”。但解法1中三兄弟分得的马匹数的比却是5：2：1 =：：，这是符合故事中要求的。这样，表面上看不出解法1的方法是有错的，只是没有把11匹马分完而已。而解法2和解法3遵照老人不杀马的规定，把11匹马分完了。从以上的比较中可以看出，问题的关键在于人们对问题本身的理解，要不要“分完”，显然这是表面的，其实质要判断问题本身是有限问题还是无限问题。
如果在解法1的基础上继续把没有分完的匹马按、、进行二次分，三次分，…，一直分下去。这样，老大分得：
11×+11××+11×××+…
这是一个无穷递缩等比数列求和的问题。这个等比数列的首项是11×即，公比是。根据等比数列求和公式知：=×=6匹马。
同理，老二分得：=×=3匹马，
老三分得：=×=2匹马。
即三兄弟每人分得的马数分别为6匹， 3匹和2匹，显然与解法2和解法3的结果是一致的。这样就可以从数学的角度来解释后人按比例分配的科学性和公平性，以及阿凡提“借马分马”的正确性和合理性。现在我们用极限的思想对这一问题作出解释，有些复杂，比较抽象，不易理解；而阿凡提用“借马分马”的方法解决了问题，就显得简单，比较形象，容易理解，这样充分显示了阿凡提的智慧。
可见，数学故事“阿凡提分马”这一问题的实质是无限的问题，在数学上要作出合理的解释，需要用到数列、极限等知识。解法1用有限的方法来解决无限的问题，本身就是错误的，自然也就分不完。

三、“阿凡提分马”问题作为小学教学的内容合适吗？

徐老师等“呼吁专家们在教材中去掉此题或改换一题”，认为这个问题作为小学教学的内容不合适。我们认为数学故事“阿凡提分马”作为放在学习《比的应用》之后的一个拓展性练习是比较合适的。因为学生完全有能力用小学数学的知识来解决这一问题，实际上除了用按比例分配的方法，还可以用解方程来解决。
解法4：
解：设老大分得x匹马，老二分得x匹马，老三分得x匹马，则
x+x+x=17
x=11，x=12
所以，x=6，x=3，x=2
当然，如果要求学生真正理解这一问题用不同的方法为什么会得到不同的结果，那就不适合了。因为学生在小学阶段是没有能力理解“无限问题”的数学本质的，只能等到学习了数列、极限等知识之后才能接受。
其实“借马分马”作为一种重要的数学方法，在小学里就有应用，比如，某商店规定3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小明有10个空汽水瓶。问：他一共可以换到多少瓶汽水？
小学生往往是这样解决的：
第一步，10个空瓶，先拿9个换得9÷3=3瓶汽水，
第二步，3瓶汽水喝完后会有3个空瓶，可换得3÷3=1瓶汽水，
第三步，1瓶汽水喝完后会有1个空瓶，加上原来留下的1个空瓶，共有2个空瓶，如果想多喝一点，就可以先向店家借1个空瓶，这样就有3个空瓶了，3个空瓶可换得3÷3=1瓶汽水， 喝完后再把剩下的1个空瓶还给店家，这样他一共可以换到3+1+1=5瓶汽水。
这里小明“先向店家借1个空瓶”，然后“再把剩下的1个空瓶还给店家”，就是“借物还物”。到了初中，“借马分马”的应用更加广泛，进一步推广可以得到“借数还数”，“借图还图”，其本质是构造一个“元”，这里的“元”可以是数，也可以是式子，还可以是图形，比如：
1.992=992-1+1=（99+1）（99-1）+1=100×98+1=9800+1=9801，
这里先借（-1），再还（-1）。

2.在代数中的配源于：论文资料网www.618jyw.com

方法：
ax2+bx+c=ax+2 -+c=ax+2 +，
这里先借式，再还式。
参考文献：
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义务教育数学课程标准研制组.义务教育课程标准实验教科书数学教师教学用书（六年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2007，（6）.
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