阐释反比例反比例函数中线段探讨

反比例函数的面积问题，大家都比较熟悉，也是中考的热点之一.其实在近几年的中考试题中，双曲线与直线相交所得的线段问题也是频频出现，体现了今后几年中考命题的趋势.这类考题题型多样、富于变化、精彩纷呈，有些题目甚至还有一定的难度.由于充分研究了线段问题，才能更好地研究面积，所以线段问题值得我们研究.

一、 双曲线中的相等线段

【探究】 如图1，以k>0，k>0为例，双曲线y=与直线y=kx相交于点M、N，根据正比例函数图象与反比例函数图象都关于原点对称，我们不难发现OM=ON.如果将正比例函数y=kx改为一次函数y=kx+b（b≠0），情况又如何？如图2，以k<0，k0为例，直线y=kx+b分别交x轴、y轴于E、F，与双曲线y=相交于点M、N，那么EN=FM吗？答案是肯定的，但是如何证明呢？过M作MP⊥x轴于P，过N作NQ⊥y轴于Q，连结PQ，下面介绍几个不同方法.
方法一： 设M（m，），N（n，）（m0），代入y=kx+b，解方程组得k=-，b=，则点E横坐标-=m+n，由E（m+n，0），P（m，0），得EP=n，而NQ=n，故EP=NQ.显然EP∥NQ，从而四边形EPQN为平行四边形，则EN=PQ.同理MF=PQ，所以MF=EN.
证法引申： 这种方法求出了直线解析式y=kx+b中的系数k和b，其实设出了点M、N的坐标，则点P、Q的坐标就可分别表示为（m，0）、（0，），再进一步求出直线PQ的解析式y=px+q中的系数p、q，比较两个一次函数解析式中一次项系数，会发现p=k，说明PQ∥MN.从而证明四边形PQNE、四边形PQFM都是平行四边形，即证得MF=EN.
方法二： 设M（m，-），N（n，）（m0），则==，==，故=，所以MF·FE+MF2=NE·FE+EN2，得MF2-EN2+MF·FE-NE·FE=0，从而（MF-EN） （MF+EN） +FE·（MF-EN）=0，则（MF-EN） （MF+EN+FE）=0.由于MF+EN+FE≠0，故MF-EN=0，即MF=EN.
方法三： 延长MP、NQ，交于H.由==，==，得=.又∠H=∠H，则△HPQ～△HMN，故PQ∥MN.再由MP∥FQ，得FMPQ，得FM=PQ.同理EN=PQ，从而FM=EN.
这是直线与双曲线的2个支相交， 如果与同一支相交呢？如图3，同样有MF=NE.证法与上述情况类似.
【应用】 运用上述结论，我们能轻松地解决许多复杂的问题.如：
例1 （2012·山东东营）如图4，一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE.有下列四个结论：
① △CEF与△DEF的面积相等；
② △AOB～△FOE；
③ △DCE≌△CDF；
④ AC=BD.
其中正确的结论是（）
A. ①②B. ①②③
C. ①②③④D. ②③④
解析 由上面的证明过程可看出CD∥EF，则①、②成立；再根据一次函数的解析式y=x+3，可得∠DCE=∠CDF=∠DAF=45°，故DF=AF，我们还知道四边形ACEF是平行四边形，CE=AF，从而CE=DF，由SAS可判断③成立.当然，我们也可先说明摘自：毕业论文www.618jyw.com
四边形CDFE是等腰梯形，从而③成立；而结论④是本题的难点，许多学生都感到困难，并作出错误的判断，而这正是我们探究出的结果，作为选择题，不写过程，直接运用这个结论，就相当简单了.如果是解答题，也可用上述方法写出推理过程，其中方法三就很简单.本题选C.
延伸： 除了本题的4个结论，由CD∥EF，还可得△CDF与△DCE的面积相等，以及类似于②的三角形相似等；连结OC、OD、BF，由AC=BD，还能得到S△AOC=S△BOD，S△AFC=S△BFD等；解决这类问题时还不能忽视上述证明过程中得到的2个平行四边形.
例2 （2012·四川成都）如图5，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=（k为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E、F.过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C.若=（m为大于1的常数）.记△CEF的面积为S，△OEF的面积为S，则=. （用含m的代数式表示）
解析 本题让许多考生头疼，我看了一些解题过程，也相当繁琐，而且基本上都在无意中直接运用了AF=BE的结论.其实由=，可得=，再根据△BME∽△FCE，得S△BME=S△FCE=S1；由于AF=BE，故=，所以=，因而S△BOE=（m+1）S△BME=S1；最后由=，得S2=S△OEF=（m-1）S△BOE=（m-1） S=S.所以==.2012年山东省济南市中考数学第27题问题（3）也涉及这个结论.
延伸： 由AF=BE，可得△BME≌△FNA，又S△BOE=S△NOF，所以可得S△BOE=S△AOF，S△BOF=S△AOE等.过E作ED⊥x轴于D，过F作FG⊥y轴于G，则有EA=BF，△BGF≌△EDA，S梯形EFGM=S梯形EFND=S△OEF等（S△OEF=S四边形OEFN-S△OED= S四边形OEFN-S△OED=S梯形EFND，2012年湖北省十堰市第16题就考查了这样的三角形面积等于梯形面积的问题）.仔细研究，你还会发现许多结论.有了前面的基础，看看下一例题还难不难！
例3 （2012·湖北随州）如图6，直线l与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点，若AB：BC=（m-1）∶1（m>1），则△OAB的面积（用m表示）为（）
A.B.
C.D.源于：毕业论文致谢www.618jyw.com