函数关于,2011高考中数学“不等式”

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089 (2012)02-0243-02
1 不等式的性质和运用
此类试题常常会与命题真假的判断、大小的联系、必要条件等知识综合考查，以选择题或填空题的形式考查。试题难度不大，以考查不等式的不等式的性质和运用为主，求解中对性质变形形式的理解和运用，主义思维的严谨性。
例1、（2011年?浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的（）
A、而不必要条件B、必要而不条件
C、必要条件D、既不也不必要条件
解读：理由的论证正面推论述证，反面用列举反证，对于逻辑联系的判断和浅析要以题情出发灵活掌握。
突破：对于0＜ab＜1时，a＞0，∴b＞0，a＜1b成立，a＜0，∴b＞1a成立，“0＜ab＜1” 是“a＜1b或b＞1a”的条件；反之，不妨举反例，若a＝-1，b＝2，“a＜1b或b＞1a” 成立，但条件0＜ab＜1不成立，“0＜ab＜1”“a＜1b或b＞1a”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的而不必要条件。【答案】A
感悟：不等式性质的理由中，除了运用性质推理外，有时用特殊值轻而易举解决理由。
题型

二、函数性质和不等式的运用

此类题型考查函数性质在不等式运用和不等式的运用，是考试的热点题型，试题难度中等，是小题型出现。解题时应构造函数模型并运用单调性及数形思想，不等式的运用要等号成立条件。
例2、（2011年?天津）已知a＝5log

3.42，b＝5log64，c＝(15)log0.33，则（ ）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、a＞c＞b D、c＞a＞b
解读：将a，b，c化为同底的指数式并找中间值，再用函数性质比大小。
突破：c＝5-log0.33＝5log10033。32＝log3.422＜log3.422＝log3.42＜2，0＜log3.64＜1，1＜log1033＝log10093＜log273＝32，所以a＞c＞b。【答案】C
感悟：指数和对数函数的性质的运用是解决这类理由的，有时寻找中间值很。
题型

三、解不等式

此类试题考查形式多样，常与集合、简易逻辑相，以选择题、填空题形式出现，难度较小，考查对一元二次不等式、不等式组及分式不等式的解法等。有时与导数相，属中等难度的题型。
例3、（2011年?辽宁）函数f(x)的定义域为R，f(-1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2,则f(x)＞2x+4的解集为（）
A、(-1),1 B、(-1,+∞) C、(-∞,-1) D、(-∞,+∞)
解读：联系式f′(x)＞2是其f(x)＞2x+4的求导式，故可导数法判断函数g(x)＝f(x)-2x-4的单调性，又f(-1)＝2，所以g(-1)＝0，综上可将理由转化为g(x)＞g(-1)理由。
突破:令函数g(x)＝f(x)-2x-4，则g′(x)＝f′(x)-2＞0，，g(x)在上是增函数，又g(-1)＝f(-1)+2-4＝2+-4＝0。所以，原不等式可化为：g(x)＞g(-1)，由g(x)得单调性，可得x＞-1
【答案】B
感悟：寻找已知和之间的联系，有时在理由求解中得以简化。
题型

四、简单的线性规划

运用线性规划判断平面区域、求函数的最值，常见于选择或填空题，线性规划解决实际运用理由常见于解答题，以中档题为主，解决这类理由的是灵活运用数形思想。
例

4、（2011年?湖南）设m＞1，在约束条件y≥x

ymx
x+y1，下，函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）
A、(1,1+2) B、(1+2,+∞) C、(1,3) D、(3,+∞)
解读：此题找准函数最小值的位置。
突破：依题意，画出简图可行域如右图阴影，则当直线z=x+my过A点时函数有最大值，由y=mx与x+y=1求出A(1m+1,mm+1),代入可得zmax=1m+1+m2m+1=m2+1m+1＜2。又m>1，可求得1＜m＜1+2。
感悟：尽量将图形做准确，借图找出函数的最优解的位置非常。
题型

五、不等式的综合运用

在主观题中，不等式常与函数、三角、向量、数列、剖析几何、综合出现，导数、不等式、函数的综合题居多，理由多属于中高档题，对不等式的知识，策略教学论文与技艺要求较高。
例

5、（2011年?辽宁）已知函数＝

(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a＞0，证明：当0＜x＜1a时，f(1a+x)＞f(1a-x)；
(3)若函数y=f(x)的图像与x轴交与A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)＜0。
解读：先求函数f(x)的定义域，（1）求导，讨论的范围，以而确定函数的单调性；（2）构造函数g(x)＝f(1a+x)-f(1a-x)，导数法判断函数g(x)的单调性即可。（3）图像及（1）、（2）结果可求证。
突破：（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x) ＝1x-2ax+(2-a)＝-(2x+1)(ax-1)x，若a0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0,+∞)单调增加。
若a＞0，则由f′(x)＝0得x=1a，且当0＜x＜1a时，f′(x)＞0，当x＞1a时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1a)单调增加，在(1a,+∞)单调减少。
（2）设函数g(x)＝f(1a+x)-f(1a-x)，则g(x)＝In(1+ax)-In(1-ax)-2ax，g′(x)＝a1+ax+a1-ax-2a＝2a3x21-a2x2。
当0＜x＜1a时，g′(x)＞0，而g(0)＝0，所以g(x)＞0。
故当0＜x＜1a时，f(1a+x)＞f(1a-x)。
(4)由（1）可得，当时a0，函数y＝f(x)的图像与x轴至多有交点，故a＞0，以而f(x)的最大值为f(1a)，且f(1a)＞0。
不妨设A（x1，0），B(x2,0),0＜x1＜x2,则0＜x1＜1a＜x2，0＜1a-x1＜1a。由（2）得f(2a-x1)＝f(1a+1a-x1)>f(x1)=0。以而x2＞2a-x1，x0＝x1+x22＞1a。
由（1）知，f′(x0)＜0。
感悟：导数法是求解函数性质常用的策略教学论文，要熟练的掌握运用导数法求解函数的单调性、最值、极值等理由常用的和策略教学论文，理由也要将所求理由转化为相应的熟悉理由。导数法证明不等式理由，常常是构造新函数，证明新函数的单调性而理由的证明。