平移抛物线,函数图像平移与对说求解对策

图形的变换是“课程标准”中新增加的内容，在各地的中考中频繁出现，尤其是近几年，图形变换常与平面直角坐标系坐标相，让学生感到无以下手.这类题背景新颖、形式多变，以考查学生的数形，到运用变换操作的计算题，进展到基于变换操作的综合探究题，是压轴题.考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐显著.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力、数形能力和浅析、综合解决实际理由的能力都了比以往更高的要求. 其实，只要把握平面直角坐标系中点的坐标变换的本质特点，数形及的变换的数学思想及策略教学论文，便能意想不到的解题思路与策略教学论文，做到胸有成竹，有的放矢.

一、平面直角坐标系内点的变换本质特点及规律

对于平面直角坐标系内点（x，y）的平移只能是沿x轴方向左右平移或沿y轴方向上下平移.

1. 点的平移规律：

★当点P（x，y）沿x轴方向左右平移到A时，只能给x变化，即A；右移h为正，左移h为负；
★当点P（x，y）沿y轴方向上下平移到B时，只能给y变化，即B（x，y+k）；上移k为正，下移k为负.
点的对称规律：
★当点P（x，y）关于x轴对称到点A时，只能给y变化，变为y的相反数，即A（x，-y）；
★当点P（x，y）关于y轴对称到点B时，只能给x变化，变为x的相反数，即B（-x，y）；
★当点P （x，y）关于原点中心对称到点C时，能给x、y都变化，都变为x、y的相反数，即C （-x，-y）.
变换规律不但适用于点的变换，对于一次函数、反比例函数及二次函数图像的变换均成立与适用.

2.函数图像的平移规律：

★ 当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿x轴方向左右平移时，只能给自变量x变化，即y=k（x-h）+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=a（x-h）2+b（x-h）+c（a≠0）；右移h为正，左移h为负；
★ 当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿y轴方向上下平移时，只能给函数y变化，即y=kx+b+m（k≠0）、y=+m（k≠0）、y=ax2+bx+c+m（a≠0），上移m为正，下移m为负.
函数图像的对称规律：
★当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于x轴对称时，函数y变为y的相反数，即y=-kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2-bx-c（a≠0）；
★当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于y轴对称时，自变量变为x的相反数，即y=-kx+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=ax2-bx+c（a≠0）；
★当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于原点中心对称到点C时，能给x、y都变化，都变为x、y的相反数，即y=kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2+bx-c（a≠0）.

二、平面直角坐标系内点、函数图像的变换技艺与拓展运用

例1：阅读下面的：
在平面几何中，学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图像所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图像为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图像为直线l2，若k1=k2，且b1≠ b2，就称直线l1与直线l2互相平行.
解答下面的理由：
（1）求过点P（1，4）且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图像；
（2）设直线l与y轴、x轴交于点A、B，直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行且交x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数表达式.
思路点拨：在（1）中，要求出与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，弄清直线的平移情况.因已知直线平移后经过点P（1，4），不防设点M（1，a），代入求出a的值，进而确定出平移的方向和单位长；在（2）中，因直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行，可知k=-2，进而用有关t的代数式表示出C点的坐标，此时要分类讨论点C的位置，要分两种情况面积公式求解出有关面积S关于t的函数表达式.
剖析：（1）点M（1，a）是已知直线y=-2x-1上的一点，将x=1代入已知直线得a=-2×1-1=-3，则M（1，-3）平移到P（1，4），是沿y轴向上平移7个单位，即y=-2x-1+7，化简得直线l的函数剖析式为y=-2x+6；
（2） ∵直线l与y轴、x轴交于点A、B，∴点A、B的坐标为（0，6）、（3，0）.
∵l∥m，∴直线m为y=-2x+t.∴C点的坐标为（，0）.
∵ t＞0，∴＞0 .
∴C点在x轴的正半轴上.
当C点在B点的左侧时，S=×（3-）×6=9-；
当C点在B点的右侧时，S=×（-3）×6=-9 .
∴△ABC的面积S关于t的函数表达式为：
S=9-（0＜t＜6），-9（t＞6）.
评注：平移法则是：当函数的图像向上或向下平移时，原函数的函数值y变为y+k，上移k为正数，下移k为负数，而自变量不变.
例2：如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数剖析式；
②当抛物线向左或向右平移时，有着某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若有着，求出此时抛物线的函数剖析式；若不有着，请理由．
思路点拨：在（1）中，使AQ+QB最短，两点之间线段最短，即作出B关于x轴对称点P的坐标，进而可知线段AP的距离最短，再求出直线AP与x轴的交点以而Q点的坐标；在（2）中，抛物线在平移中A、B两点的位置、数量大小联系并转变初中数学教学论文，转变初中数学教学论文的仅是它们的坐标，要使距离仍然最短，将点Q向左平移到点C，以而抛物线左移的距离，运用平移规律求解抛物线的剖析式，使四边形A′B′CD的周长最短，要分类考虑左移与右移.
剖析：（1） 将点A（-4，8）的坐标代入y=ax2，解得，将点B（2，n）的坐标代入，求得点B的坐标为（2，2），则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，-2）．
直线AP的剖析式是y=-x+，令y=0，得x=．即所求点Q的坐标是（，0）.
（2）①抛物线上A、B两点的位置已确定，要使A′C+CB′ 最短，也让点Q沿x轴向左平移到点C，CQ=|-2-|=，即将抛物线y=x2向左平移个单位时，A′C+CB′最短.

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此时抛物线的函数剖析式为y=[x-（-）]2，即y=·（x+）2．
②左右平移抛物线y=x2，线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短.
种情况：将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′＞AD+CB，不有着某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．
种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标为A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）.CD=2，将点B′向左平移2个单位得B′′（-b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（-4-b，-8），直线A′′B′′的剖析式为y=x+·b+2，要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D（-4，0）代入直线A′′B′′的剖析式，解得b=．故将抛物线向左平移时，有着某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数剖析式为y=[x-（-）]2，即y=（x+）2.
评注：平移法则是：当函数的图像向左或向右平移时，原函数函数剖析式自变量x变为x-h，右移h为正数，左移h为负数，而函数值不变.
例3：如下页图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1）：
a.若将抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线的剖析式；
b.抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的剖析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后抛物线. 抛物线的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
思路点拨：将点B（1，0）代入C1的剖析式能地求出a的值；在（2）中，抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，则变量x、y都变为相反数；当点P、M关于点B成中心对称时，要求出C3的剖析式是求出顶点M点的坐标，而B点坐标为（1，0），对称性及添加的辅助线、全等知识等可得顶点M（4，5），且抛物线C3开口向下，运用顶点式便可求出C3的剖析式；在（3）中，抛物线C1绕点Q旋转180°后抛物线 .其实P，N关于点Q成中心对称，对称性可设字母m表示出N、E、F等各点的坐标，探究以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，要的分类考虑：三个角都有为直角的可能，再的勾股定理等确定所设字母m的值，进而求出Q点的坐标.
剖析：（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得顶点P（-2，-5）.
∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0=a（1+2）2-5，解得a= .
（2）a：抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，先自变量x变为y=（-x+2）2-5，函数值y变为y=-（-x+2）2+5；
b：连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G ，∵点P、M关于点B成中心对称.
∴PM过点B，且PB=MB，∴△PBH≌△MBG，∴MG=PH=5，BG=BH=3.
∴顶点M的坐标为（4，5）.
抛物线C2由C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移.
∴抛物线C3的表达式为y=-（x-4）2+5.
（3）∵抛物线由C1绕点x轴上的点Q旋转180°∴顶点N、P关于点Q成中心对称， 由（2）得点N的纵坐标为5.
设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，∴EF=AB=2BH=6，∴FG=

3.点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5）.

勾股定理得PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34 .①当∠PNF=90°时，PN2+ NF2=PF2，解得m=，∴Q点坐标为（，0）；②当∠PFN=90°时，PF2+ NF2=PN2，解得m=，∴Q点坐标为（，0）；③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90°.
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．
评注：解题是抓住关于x轴对称、y轴对称和关于某点中心对称的坐标的特点，轴对称是翻折180°，中心对称是旋转180°。抛物线关于x轴对称，实质上图像的形状不变，开口方向相反，并且抛物线的顶点关于x轴对称，抛物线在左右平移中，实质是抛物线的自变量在变，函数值并转变初中数学教学论文，抛物线在上下平移中，实质是抛物线的函数值上下移动，自变量并转变初中数学教学论文。图像绕着某点旋转180°，实质是图像绕着某点成中心对称，是要搞清两个对称点之间横坐标的联系，纵坐标的联系.解答图像类的坐标理由，其的思想是“数形转换”，把已知条件、图形性质求出来的几何量，转化成点的坐标，是由坐标转化成几何量时都应对点的坐标符号或几何量的确定.

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