转化,例谈“转化与化归”思想在高中数学解题中运用

摘要：化归与转化的思想策略教学论文是高中数学的非常的思想策略教学论文，掌握好化归与转化的思想策略教学论文的特点，对学习数学是非常有的． 以陌生与熟悉的转化、常量与变量的转化、正与反的转化、方程与函数的转化、数与形的转化、抽象与的转化，例谈化归与转化思想在高中数学运用中所涉及的类型的解题对策．
词：高中数学；转化与化归；解题
“转化与化归”是的数学思想策略教学论文，理由的转化、归类就会使理由变得简单． 转化的策略教学论文有，但都遵循转化与化归的原则——熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则． 化归与转化是解决理由的对策，成功的思维方式．学生在学数学时掌握好“转化与化归”等数学数学思想策略教学论文，会大大提高浅析、处理和解决数学理由的能力． 实例，例谈转化与化归思想在数学解题运用．
■陌生与熟悉的转化
例1 已知m1=■，m2=■，m3=■ 求证：m1+m2+m3=m1m2m3．
剖析：原条件可化为m1=■，m2=■，m3=■，令■=tanα，■=tanβ，则m1=tan■+α，m2=tan■+β，m3=■=■=tan■－α－β．
■+α+■+β+■－α－β=π，
所以tan■+α+■+β=tanπ－■－α－β，即■= －tan■－α－β，
整理得tan■+α+tan■+β+tan■－α－β=tan■+α·tan■+β·tan■－α－β，
所以m1+m2+m3=m1m2m3成立．
点评：将陌生理由转化为熟悉的理由，以利于运用熟知的知识、经验和理由来解决，本题巧妙地将陌生的分式经过整理变形，转化为熟悉的两角和差正切公式来解决．
■常量与变量的转化
例2对于0≤p≤4的实数，不等式x2+px>4x+p－3恒成立，试求x的取值范围．
剖析：习惯上把x当做自变量，记函数y=x2+（p－4）x+3－p，理由转化为：当 p∈［0，4］时，y＞0 恒成立，求x的取值范围． 解决等价的理由需运用二次函数二次方程的区间根原理，可想而知，复杂的．
设函数f（p）=（x－1）p+（x2－4x+3），显然x≠1，则f（p）是p的一次函数，要使f（p）＞0 恒成立，当且仅当f（0）＞0，且f（4）＞0时，解得x的取值范围是（-∞，－1）∪（3，＋∞）．
点评：本题看上去是不等式理由，但经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，一次函数的单调性求解，解题的是转换变量角色． 在有变量的理由中，常常有变元地位，称之为主元，思维定式的影响，在解决这类理由时，总是紧紧抓住主元不放，这在情况下是正确的． 但在某些特定条件下，此路不通，这时若能变更主元，转移变元在理由地位，就能使理由迎刃而解．
■正与反的转化
例3 已知函数f（x）=4x2－ax+1在（0，1）内至少有零点，试求实数a的取值范围．
剖析：至少有零点的情况比较复杂，而其反面为零点，比较处理．
（法一） 当函数f（x）=4x2－ax+1在（0，1）内零点时?圳4x2－ax+1=0在（0，1）内实数根，即在（0，1）内，a≠4x+■． 而当x∈（0，1）时，4x+■≥2■=4，得4x+■∈［4，+∞） ．
要使a≠4x+■，必有a<4． 故满足题设的实数a的取值范围是［4，+∞）．
（法二）设f（x）=4x2－ax+1，对称轴为x=■，到f（0）=1>0，故对称轴在y轴的右侧．
?摇（1）当0<■0?圯a≤－4或a≥4，a∈R?圯a≤－4或a≥4，此时4≤a<8；
（2）当■≥1时，有f（1）<0?圯5－a5，此时有a≥8．
综合（1）（2）得实数a的取值范围是［4，+∞）．
?摇点评：运用法二求解时，要有较强的数形能力、分类讨论能力和较强的洞察力（到f（0）=1>0），有的难度；若转为先考虑它的反面情形（法一），则解题与思路会变得更与明确． “正难则反”有时会给的解题意想不到的妙处．
■方程与函数的转化
例4 若关于x的方程cos2x+4asinx+a－2=0在区间［0，π］上有两个不同的解，则实数a的取值范围是______________．
剖析：cos2x+4asinx+a－2=1－2sin2x+4asinx+a－2=－2sin2x+4asinx+a－1．
令t=sinx，t∈［0，1］，则原题转化为方程－2t2+4at+a－1=0在［0，1］上有两个根．
令f（t）=－2t2+4at+a－1，由二次函数图象可知Δ>0，f（0）≤0，f（1）≤0，0<■<1，解得■点评：本题涉及多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数理由，二是方程的理由转化为函数的理由，经过转化题目就迎刃而解了． 宏观整体的把握理由的一般规律，以而达到成批的处理理由的效果．
■数与形的转化
例5求函数f（x）=■+■的最小值．
剖析：f（x）=■+■ =■+■．
■
图1
设A（2，3），B（6，1），P（x，0），则上述理由转化为求PA+PB的最小值．如图1，点A关于x轴的对称点为C（2，－3），PA+PB=PC+PB≥BC=4■，所以f（x）的最小值为4■．
点评：本题对原式变形，其运算量是比的，效率当然也不高，将式子转化为点与点距离公式，它的几何作用小学数学教学论文就凸显出来了；然后再数形的策略教学论文，把代数理由转化为几何理由，这样的转化使题目变得简单多了．
■抽象与的转化
例6设f（x）定义域在实数集R上，当x>0时，f（x）>1，且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）·f（y），f（1）=2，解不等式f（3x－x2）>4．
剖析：由f（x+y）=f（x）·f（y）中取x=y=0得f（0）=f（0）2． 若f（0）=0，则令x>0，y=0，f（x）=0与x>0时，f（x）>1矛盾． 所以f（0）=1．
当x>0时，f（x）>1>0；当x0，f（－x）>1>0，而f（x）·f（－x）=1，
所以f（x）=■>0． 又f（0）=1，所以x∈R，f（x）>0． 设x1，x2∈R且x10，f（x2－x1）>1，f（x2）－f（x1）=f［x1+（x2－x1）］－f（x1）=f（x1）f（x2－x1）－f（x1）= f（x1）［f（x2－x1）－1］>0，所以y=f（x）在R上为单调增函数． 又f（1）=2，所以f（3x－x2）>f（1）·f（1）=f（1+1）=f（2）． 由f（x）的单调性可得3x－x2>2，解得1点评：指数函数有类似f（x+y）=f（x）·f（y）的性质ax+y=ax·ay，所以猜想模型函数为f（x）=ax（a>0，a≠1）． 由f（2）=f（1+1）=f（1）·f（1）=4，则将不等式化为f（3x－x2）>f（2），只需证明f（x）的单调性即可．
数学转化比比皆是，但实质揭示内在联系转化． 除极其简单的数学理由外，几乎每个数学理由的解决转化为已知理由的． 以作用小学数学教学论文上讲，解决数学理由以未知向已知转化的，但还应转化等价性，即转化前后是等价的、的．