试议调子单调子列有着性及其运用怎么

【摘要】证明任何数列都存在单调子列，利用单调子列证明柯西收敛准则及聚点定理.
【关键词】数列；单调子列；极限；聚点
【】A
单调有界定理依赖于单调数列，单调子列的存在性是众所周知的，这里的证明可以看作区间套思想的一个应用.
定义 设{an}是一个数列，若
则称数列{an}（严格）单调递增.相似的可以定义（严格）单调递减数列.
定理 任何数列都有单调子数列.
证明 设{an}是一个数列，若{an}无上界，则存在n1，使得an1>1，又存在n2，使得an2>max{an1，2}，…，存在nk，使得ank>max{ank-1，k}，无限的做下去得到{an}的严格单调递增子列{ank}.若{an}无下界，则相仿的可以得到一个严格单调递减子列.
下设{an}有界，|an|≤M，n≥1.若数列的项仅有有限个数值，则很容易抽出单调子列.下设数列有无限个不同的项.任取an1∈（-M，M），
则[-M，an1]及[an1，M]这两个区间当中至少有一个含有{an}的无限个不同的项，将其记为[x1，y1]，注意an1∈{x1，y1}.接着，任取an无限的做下去得到区间套{[xn，yn]}及子列{ank}，显然{ank}{xn}∪{yn}.
所以数列{xn}及{yn}中至少有一个含有{ank}的无穷多项，将其抽出得到数列{an}的严格单调子列. 证完.
柯西准则 数列{an}收敛当且仅当对任何ε>0，N，当n，m>N时有|an-am|<ε.
证明 必要性显然.下证充分性.首先数列有界，所以必有单调有界子列{ank}，由单调有界定理知{ank}有极限a，利用极限的定义知{an}收敛到a. 证完.
聚点定理 有界无限点集E至少有一个聚点.
证明 首先选出E的一个无限点列{an}，进而选出{an}的单调子列{ank}，则{ank}有极限a，利用极限的定义a是点集E的聚点.证完.
【参考文献】
华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，200

1.摘自：学术论文格式www.618jyw.com