简论归纳法数学归纳法

数学归纳法是用来证明与正整数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用，应用时应注意三点：一是验证是基础.数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是要证明的命题对象的最小正整数，这个最小正整数并不一定都是“1”，因此，找准起点，奠基要稳是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.二是递推乃关键.数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把归纳假设“n=k”作为条件来推导出“n=k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次.三是寻找递推关系.特别是在论证f（k+1）时， 一定要把包含f（k）的式子写出来，尤其是f（k）中的最后一项，除此之外，多了哪些项、少了哪些项要分清楚.
题型

一、证明恒等式

例1 用数学归纳法证明：1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n.
思路分析 要证等式的左边2n项，右边共n项，f（k）与f（k+1）相比，一是f（k+1）的左边增加两项，右边增一项；二是左右两边的首项不同.因此，从“n=k”到“n=k+1”时要注意项的合并.
证明 （1）当n=1时，左边=1-12=12，右边=11+1=12，∴左边=右边，∴等式成立.
题型

二、证明不等式

例2 已知sn=1+12+13+…+1n（n>1，n∈N*），求证：s2n>1+n2.
思路分析 要证不等式成立，关键搞清楚sn=1+12+13+…+1n有n项，分母呈现自然递增，即s2k=1+12+13+…+12k中有2k项相加，在解决n=k+1时，s2证明 （1）当n=2时，s2n=1+12+13+14=2512>1+22，即n=2时命题成立.
（2）假设当n=k时，命题成立，即sk=1+12+13+…+1k>1+k2成立.
题型

三、证明整除性问题

题型

四、证明几何问题

例4 平面上有n个圆，其中每两个圆都相交两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f（n）=n2-n+2部分.
思路分析 此类题目关键在于分析清楚n=k与n=k+1时，二者的差异，这时可以借助图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f（k）与f（k+1）之间的递推关系.
证明 （1）当n=1时，一个圆把平面分成摘自：学士论文www.618jyw.com
两部分，又f（1）=12-1+2=2，所以，当n=1时命题成立.
（2）假设当n=k时，命题成立.即k个圆把平面分成f（k）=k2-k+2部分.
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