试议函数例谈一道函数题变式教学

函数是高中数学的核心内容，贯穿了整个高中数学课程，同时还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位.而任意性、存在性问题，又是近几年高考常考题型之一，尤其是这两个在一题中同时出现时，更是令学生焦头烂额，不知所措.如何在教学中突破这个难点，使学生轻松理解领会，是一线教师经常思考的问题.笔者以自己的实际教学体会，从一道习题出发展开，希望能够对学生及同行有所帮助.
问题 已知：
（1）当x∈[0，1]时，求f（x）的值域；
（2）对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]使得g（x2）=f（x1）成立，求a的取值范围.
分析 本题第（1）问较为简单，详细答案略，f（x）的值域为[0，1]，难点主要集中在（2）问上，学生主要对题意理解有障碍，不能准确深刻理解“对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]使得g（x2）=f（x1）成立”这句话，实际上它主要阐述的是当x∈[0，1]时，f（x），g（x） 这两个函数值域之间的关系.解答如下：
由（1）问知f（x）的值域为[0，1]，另g（x）的值域为[5-2a，5-a]，记f（x）的值域为集合A，g（x）的值域为集合B，则由题意可知AB，故有5-2a≤05-a≥1得52≤a≤4，所以a的取值范围为：52，4.
为了帮助学生理解消化，我们可作如下小结：
结论1：对任意x1∈D1，存在x2∈D2，使得g（x2）=f（x1）等价于函数f（x）在D1上的值域A是函数g（x）在D2上的值域B的子集，即AB.
在问题第（2）问理解的基础上，教师在课堂上，可在题目条件不变的情况下作适当变式，以帮助学生攻克难点，列举如下：
变式1：是否存在a，使得对任意x2∈[0，1]，存在x1∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立？若存在，请求出a的范围；若不存，在请说明理由.此变式相当于要求g（x）的值域A为f（x）的值域B的子集，即BA，解答过程仿照上面，答案略.
变式2：是否存在a，使得对任意x1∈[0，1]，x2∈[0，1]都有f（x1）=g（x2）成立？若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由.此变式的目的是帮助学生进一步加强对全称量词“任意”的理解.本例实际上是要求f（x）的值域A与g（x）的值域B相等，即A=B，解答过程略.
变式3：若存在x1∈[0，1]，x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范围.此变式的目的是帮助学生进一步加强对特称量词“存在”的理解.本例实际上是要求f（x）的值域A与g（x）的值域B相交非空，即A∩B≠，解答过程如下：
f（x）的值域为[0，1]，g（x）的值域为[5-2a，5-a]，记f（x）的值域为集合A，g（x）的值域为集合B，则由题意可知A∩B≠，所以a>05-a1，故a的取值范围为：a>5或0引导学生可得出如下结论：
结论2：存在x1∈D1，存在x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）成立，等价于函数f（x）在D1上的值域A与函数g（x）在D2上的值域B的交集不空.
以上变式均是围绕“f（x1）=g（x2）成立”这个角度展开的，实际上强调的是等的关系，等的关系体现了数学的对称美和统一美，而不等关系则体现了数学的奇异美，所以我们在教学中还要教会学生辩证地去分析问题，可以再来研究不等关系.
变式4：对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]使得f（x1）分析 此题既含恒成立又含有源于：论文提纲格式范文www.618jyw.com
存在性问题，对于学生来说由等到不等，是个难点，老师在处理时可以各个击破，先分别把一方当作常数处理然后找到关系式.此题我们可以按如下步骤进行，先把题目看为：（1）对任意x1∈[0，1]， f（x1）由题意“对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]使得f（x1）解法一 若函数g（x）最值明确，f（x）最值不明确时，可转化为：对任意x1∈D1，f（x1）1，得x>2-4a在x∈[0，1]上有解，故1>2-4a，所以0上述两种解法在课堂教学中既可以开拓学生思路，培养学生的发散思维能力，又可以通过一题多解沟通已学知识的相互联系，培养敏捷思维的习惯，寻找最佳的解题技巧，确保解题的准确性.
变式5：存在x1∈[0，1]，对任意x2∈[0，1]有f（x1）分析：此题与变式4解答过程类似，转化为f（x）min0，故a的取值范围为0依此类推我们还可作如下两个变式：
变式6：任意x1∈[0，1]，x2∈[0，1]都有f（x1）变式7：存在x1∈[0，1]，x2∈[0，1]使得f（x1）变式教学在数学课堂上，可以展示知识的发生过程，促进知识间的迁移，同时可提高学生学习的积极性、课堂的参与性，有助于学生知识网络的形成，一线数学教师应精心准备，积极提高课堂45分钟效益.