浅论奥义浅谈中学数学教学中二次函数奥义

在初中新课标的九年级下册第二章教材中，对二次函数作了较详细的研究，但学生对这部分的内容学习都是机械的，又受其接受能力的限制，没有深入地研究一元二次函数的性质，可知学生对一元二次函数的认知比较薄弱。为了能从本质上加以理解，进入高中的新课标以后，从内容上看，数学语言在抽象程度上发生突变、思维方法向理性层次上跃进。尤其是高三复习阶段，一元二次不等式的解法是职高数学教学的重点和难点之一。在内容上，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且社会应用广泛。在思想层次上，它涉及到数形结合、分类转化、方程、函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。

一、进一步深入理解函数概念

二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为f（x）= ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+5）。
这里不能把f（x+5）理解为x=x+5时的函数值，只能理解为自变量为x+5的函数值。
类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-2x-2，求f（x）。
这个问题理解为：已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-2x-2，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
（1）把所给表达式表示成x+2的多项式。
f（x+2）=x2-2x-2=（x+2）2-6（x+2）+6，再用x代x+2得f（x）=x2-6x+6。
（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令g=x+2， 则x=g-2，∴ f（g）=（g-2）2-2（g-2）-2=g2-6g+6，从而f（x）= x2-6x+6。

二、二次函数的单调性，最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞， -] 及 [-， +∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2+2|x+3|-4；
（2）y =|x2-4|；
（3）y=x2+2|x|-6。
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值符号的函数受定义域的影响用分段函数去表示，然后根据定义域和对应法则画出其图象，通过图象准确研究其单调性，但必须明确分段函数不表示几个函数。
类型Ⅳ：设f（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t），求： g（t）。
解：画出f（x）=x2-2x-1的图象，由图象可知： f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取得最小值-2，所以：当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2；
当t>1时，g（t）=f（t）=t2-2t-1；
当t<0时，g（t）=f（t+1）=t2-2。
可见，解决这一类型的题目，首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有摘自：学年论文格式www.618jyw.com
最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再补充一些练习。
如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的两个根x1、x2满足0解题思路：本题要证明的是x（Ⅰ）先证明x0， 因此f（x）>0， 即f（x）-x>0。 至此， 证得x（Ⅱ） ∵f（x）=ax2+bx+c=a（x+）2+（c-），（a>0），函数f（x）的图象的对称轴为直线x=-，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-，因为x1、x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据韦达定理得x1+x2=-，∵x2-<0，∴x0=-=（x1+x2-）<，即x0=。

四、二次函数在解一元二次不等式中的应用

解不等式-x2+2x-3>0。
解：原不等式可化为x2+2x-3<0，配方，得（x-1）2<-2，由非负数的性质可知此不等式不成立，∴原不等式的解集是空集。
说明：一元二次不等式若能变化成绝对值不等式，或一个完全平方式与一常数之和的形式，则用配方法求解比较简便。
二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的函数，可以以它为代表来研究函数的性质，建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
责任编辑 徐国坚