阐释导数导数与极限运用怎样

由于极限与导数是高等数学的重要研究内容，因此，在近年来的自主招生考试中经常出现.导数与极限有着紧密的联系，利用极限可以求导数，利用导数也可以求一些特殊的极限.下面结合具体例子浅谈导数与极限的应用.
导数定义：f′（x0）=lim△x→0f（x0+△x）-f（x0）△x=
lim△x→0△y△x=
lim△x→0f（x）-f（x0）x-x0.

一、对于一些分段函数，可以用极限判断导数的存在性

例1 已知f（x）=x+2|x|+1，求f（x）的导数.
解：f（x）=x+2|x|+1=x2+2x+1，x>01，x=0x2-2x+1，x<0
因为这是分段函数，所以需对函数进行分段求导.
当x>0时，f′（x）=2x+2；当x源于：论文例文www.618jyw.com
<0时，f′（x）=-2x+2.
由于f（0+△x）-f（0）△x=
（△x）2+2△x△x，△x>0
（△x）2-2△x△x，△x>0
因此f′+（0）=
lim△x→0+（△x）2+2△x△x=2，
f′-（0）=
lim△x→0-（△x）2-2△x△x=-2.
因为f′-（x）≠f′+（x），所以函数f（x）在x=0处不可导.
因此当x>0时，f′（x）=2x+2；当x<0时，f′（x）=-2x+2；当x=0时，f（x）导数不存在.

二、导数本身就是一种极限，可以用导数的定义和结果

求一些极限
例2 若函数g（x）在x=b处可导，且g′（b）=B，g（b）=0.求：
（1）limx→0g（b+x）x；
（2）limx→0g（b-6x）x+g（3x+b）2x.
解：（1）limx→0g（b+x）x
=limx→0g（b+x）-0x
=limx→0g（b+x）-g（b）x
=g′（b）
=B.
（2）limx→0g（b-6x）x+g（3x+b）2x
=limx→0g（b-6x）-0x+g（b+3x）-0x
=limx→0g（b-6x）-g（b）x+g（b+3x）-g（b）2x
=limx→0-6（g（b-6x）-g（b））-6x+32×（g（b+3x）-g（b））3x
=-6limx→0g（b-6x）-g（b）-6x+
32limx→0g（b+3x）-g（b）3x
=-6g′（x）+32g′（x）
=-92B.

三、利用导数与微分求近似值

由导数定义可知，f（x0+△x）≈f（x0）+f′（x0）△x.我们可以用这个公式求近似值.
例3 求（1）37；（2）cos31π90.
解：（1）由于37=36+1，故可取f（x）=x，f′（x）=12x，x0=36，△x=1，于是f（37）=f（36+1）=36+f′（36）△x=6+1236=6+112≈

6.083.

（2）由于cos31π90=cosπ3+1π90，故可取f（x）=cosx，f′（x）=-sinx，x0=π3，△x=π90，于是f31π90=cosπ3+π90=cosπ3-sinπ3
π90=12-
3π180≈0.4698.

四、对于一些没有给出解析式的函数，可以用导数定义

求导和极限
例4 已知奇函数f（x）在其定义域R上可导，则f（x）的导数f′（x）在定义域R上为偶函数.
证明：由于函数f（x）在定义域R上为奇函数，则对任意的x∈R，均有
-f（x）=f（-x），-f（x+△x）=f（-x-△x）.
于是可得
f′（x）=lim△x→0f（x+△x）-f（x）△x=lim△x→0f（x）-f（x+△x）-△x
=lim△x→0f（-x-△x）-f（x）-△x=f′（-x）.
故f（x）的导数f′（x）在定义域R上为偶函数.
例5 设函数f（x）在定义域R上可导，且对任意的x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）f（y）.若f′（0）=1，证明对任意的x∈R，都有f（x）=f′（x）.
证明：令x=y=0，则f（0）=f（0）f（0），可知f（0）=0或f（0）=1.
若f（0）=0，则f（x）=f（0+x）=f（0）f（x）=0，这与f′（0）=1矛盾.
由此可知f′（0）=1.
f（x）=
lim△x→0f（x+△x）-f（x）△x
=lim△x→0f（x）f（△x）-f（x）△x
=lim△x→0f（x）（f（△x）-1）△x
lim△x→0f（x）f（△x+0）-f（0）△x
=f（x）lim△x→0f（0+△x）-f（0）△x
=f′（x）
故f（x）=f′（x）.