关于难题数学难题与深思

《概率论与数理统计》，是目前高校理工科专业及部分文科专业开设的一门数学公共基础课。教师应重视在教学中向学生传递数学建模思想、逆事件、图表法等解题思维，帮助学生拓展解题思路，掌握数学解题技巧，提高分析与思考数学难题的能力。
数学难题分析思考一、前言
在当前高等教育数学学科公共基础科目中，《高等代数》《微积分》《线性代数》等均属于研究确定性现象的数学分支，唯独《概率论与数理统计》研究的领域是随机现象。因此，《概率论与数理统计》的教学也应当与其他数学课程有所区别，不单单是要讲授概率统计的相关知识点，更重要的是要向学生传递一种数学思维方式，将概率论纵横交错的逻辑架构清晰地展现在学生眼前，使其眼前“豁然开朗”，感受到“境界的升华”，进而有效地解决数学难题。

二、概率统计课程教学中的数学难题分析要重视学生数学思维的培养

概率论课程从学生高中时就有所接触，那为什么学生们在大学阶段更进一步地深入学习《概率论与数理统计》时，却频频出现学习障碍呢？其中很重要的一点问题，就在于学生在学习课程知识点时，缺乏有意识的思维训练，所掌握的仅仅是零散的知识，未能从整体上把握该课程常需要应用到的数学解题技巧，不利于体上的理解，以致在解题时频频失误。对此，笔者认为，在概率统计教学时，不仅要强调对学生严谨推导问题的归纳能力的培养，也要将归纳和演绎思维的训练纳入教学目标内，要综合运用多种教学手段培养学生的数学思维，使学生的数学应用能力得到本质上的提高。

三、结合概念实际背景融入数学建模思想，解决数学难题

1.在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的可行性

总体来看，概率统计教材中所涉及的随机数学问题大致可分为4大类：（1）随机事件与概率；（2）随机变量及其函数的概率分布；（3）大数定律和中心极限定理；（4）随机变量的数字特征等。教师要深入钻研教材，结合相关实例来讲解概率论与数理统计的基本理论，使其确立数学建模的思维理念，引导学生通过“再思维”来展现数学“活生生”的创造活动，逐渐深化对相关知识的理解，进而提高分析问题和解决问题的能力。

2.数学建模解决数学难题的实例分析

教师应当合理地利用教学案例来进行数学难题的讲解，并以此培养学生运用数学建模思想解题的意识。以报刊亭的收益问题为例：
例题：报刊亭每天清晨从报站批发报纸零售，晚上将未卖完的报纸退回。每份报纸零售价a元，批发价b元，回收价c元，且a>b>c，则报刊亭每售出一份报纸可赚取a-b元，退回一份会赔b-c元，问如何确定每天批发报纸的数量，才能获得最大收益。
分析：很明显，求解批发量需要根据需求量来确定，也就是说，报纸的需求量为随机变量，设报刊亭每天报纸的需求量为X=x份，批发量为n份，其概率为P（x）。而需求量x是随机的，因此报刊亭的收益也是随机的，作为优化模型的目标函数，报刊亭每天获取的最大收益应考虑到其长期（半年、一年等）的日平均收入即其期望值（以下简称为平均收入）。
由此，假设报刊亭每日批发n份报纸，日均收入为S（n），若x≤n，则表示当前报刊亭售出报纸x份，退回n-x份；若x>n，则表示报纸完全售出。因此，平均收入，建立数学模型后，只需了解到需求量为x的概率P（x）、a、b、c的具体值，就可以求取S（x）max。
在此基础上，教师还可以进一步提出问题：如模型中需求量x、批发量n取值较大，将x视为连续变量时应如何求解？学生们综合以上模型及所学连续型随机变量概念，将概率P（x）转化为概率密度函数f（x），并套用模型S（x）可得：
进而得出结论：批发量n满足条件
时报刊亭日均收入最高，因为
因此又可以转化为，即每份报纸赚钱与赔钱之比越高时，批发报纸分数也越多。同样的，指导学生运用离散型随机变量概念解题也可以得出相同结论。
通过报刊亭收益问题建立的数学模型，还可以大量引用到其他不同的现实问题中，这对于锻炼学生的思维灵活性及解决数学难题都有着很好的帮助。

四、巧用“逆事件”，解决数学难题

求解古典概率问题时一般会涉及到基本事件总数、有利事件数等，从正面探求这些问题往往不易解决，且学生在复杂的计算中稍不留神，就会陷入到思维陷阱中，脑中一团乱麻，解题就更加麻烦了。对此，教师应当在教学中指导学生熟练应用“逆事件”解题，从问题的反面逆向思维上寻求解决数学难题的方案。以下题为例：
例题：已知4个人在旅社住宿，每个人都等可能地被分配到5个房间中的任一间去住，问：事件A={4人各住一房}的概率，事件B={至少有2人同住一房}的概率？
按照一般的解题思路，首先需要求解A、B事件的有利事件数和基本事件总数，如事件A包含的有利事件数为P54，；事件B也同样如此，。如果问题中住宿人数或房间数进一步增加，计算也会变得更加繁琐，甚至出现遗漏或重复计算等情况。在此情况下，运用逆事件求解就简单多了。如事件B的发生概率可由定理P（A）=1-P（A）推导得出，P（B）=P（A）=1-P（A）=1-0.192=0.808。同样的，将住宿人数、房间数放大，设已知n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任一间去住，且n≤N，求A、B事件的概率。在此问题中，可以简单地计算出基本事件总数Nn，进而得出事件A的有利事件数PNn，得出结果，。其他的常见数学题如“生日问题”“电梯问题”，U检验法、X2检验法进行的假设检验中临界值的确定，也可以借鉴“逆事件”来解决，此处不再一一赘述。
五、结语
所谓“通达善变”，“通”是数学学习的基础，是基本保证，立足通法，才能准确地应用各种解题技巧，才能发展可靠的逻辑思维和发散思维，生出巧法。在大学数学公共基础课程的教学过程中，教师应当客观准确地把握学生的数学能力状况，在课堂教学中融入多种解题技巧教学，帮助学生拓展解题思路，提高其分析难题与解决难题的能力，以更好更深入地学习数学知识。
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