试论方差帮你学习平方差公式结论

【摘要】“平方差公式”是整式的运算一章中的重点内容之一，也是整个中学数学中的重要公式。本文通过对平方差公式实质的分析，得到7种平方差公式的变化形式，公式的两种应用，使初学者能有章可循，针对不同问题有不同的解决办法。
【关键词】平方差公式 变化 灵活运用 应用
“平方差公式”是整式的运算一章中的重点内容之

一、也是整个中学数学中的重要公式，学习这部分内容时注意以下几个问题：

1.平方差公式

两数和与两数差的积，等于它们的平方差。
即 （a+b）（a-b）=a2 -b2
学习时不仅要记住公式的形式，更要把握住公式的实质：
1.1 公式左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相同（a），另一项（b）和（-b）互为相反数，要注意每一项的符号。

1.2 公式右边是完全相同项的平方减去互为相反数的项的平方。

1.3公式中，字母a，b可表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，甚至任意代数式，只要符合公式特征就可以用这个公式计算。
1.4 注意观察识别平方差公式中所指出的“两数”，这是运用平方差公式的关键，有时为了识别这“两数”，需要对原题所给的式子进行变化。

2.灵活运用平方差公式，注意观察题目的变化，主要有8化形式

2.1 系数变化。

例1：（2x +3y ） （2x-3y）
【分析】相同项2x，相反项3y与-3y
解：原式=（2x）2 -（3y）2=4x2-9y2
注意：系数变化后，要给“两数”要带括号。

2.2 位置变化。

加法有交换律，所以可以将加数交换位置后运算，或直接用相同项的平方减去互为相反数项的平方。
例2：（ b+2a） （ -b+2a）
【分析】相同项2a，相反项b与-b
解：原式=（2a+b）（2a-b）
=（2a）2-b2
=4a2-b2

2.3 符号变化。

例3：（-2b-5） （-2b+5）
【分析】相同项-2a，相反项5与-5
解：原式= （-2b）2-52
=4b2-25

2.4 指数变化。

指数变化后要有整体思想，将字母连同它的指数看成整体的一个数，再运用平方差公式。
例4：（a2+b2）（a2-b2）
【分析】相同项a2，相反项b2与-b2
解：原式=（a2） 2-（b2）2
=a4-b4

2.5 增项变化。

增项变化后可看做平方差公式的拓展。把其中的两项看成一个整体，运用平方差公式计算。
例5：（x-y-z）（x+y+z）
【分析】原式把其中的两项y+z看成一个整体。相同项x，相反项（y+z）与- （y+z）。
解：原式= [x-（y+z）] [x+ （y+z）]
=x2- （y+z）2
=……

2.6 增因式变化。

增因式变化后要注意哪两项可以用平方差公式计算，有时需要改变相乘的顺序。
例5：（-a-b）（a-b）（a+b）（-a+b）
【分析】原式一四两项和二三两项都可用平方差公式，可先把二三两项相乘，一四两项相乘，最后再把它们的积相乘比较简单。
解：原式=（a-b）（a+b）（-a-b） （-a+b）
=（a2 -b2）[（-a2）-b2 ]
=（a2-b2）（a2-b2）
=（a2 -b2） 2

2.7 连用公式变化。

连用公式变化中，题目中因式次数成 的规律增高，可逐次运用平方差公式计算摘自：毕业论文标准格式www.618jyw.com
例7：（1） （a+b）（a-b）（a2+b2）（a4+b4）
（2） 6（7+1）（72+1） （74+1 ） （76+1） +1
【分析】
（1）题中的前两项用平方差公式后又可以和第三个因式用平方差公式计算，结果还可以和第四个因式用平方差公式计算。
（2）题中各因式均为和的形式，且次数规律增高，直接计算显然不易，而“6”可表示成（7-1）于是逐次运用平方差公式计算，对待求和式进行适度变形，使之符合平方差公式的特征，这是解题的关键。
解：（1）原式=（a2 -b2）（a2+b2）（a4+b4）
=（a4 -b4）（a4+b4）
=a8-b8
（2）原式=（7-1）（7+1）（72+1） （74+1） （78+1）+1
=（72-1） （72+1） （74+1 ） （78+1） +1
=（74+1 ） （78+1） +1
=（78-1 ） （78+1） +1
=（716-1） +1
=716

3.用平方差公式进行简便运算

3.1 正用公式简便运算。

对于要计算两数的乘积形式的题，将较大的数写成两数之和，较小的数写成这两数的差，再用平方差公式计算。
例8：1313×1013
【分析】观察数的特点，可将两数的积改写成两数的和乘以两数差的形式，再计算
解： 原式=（1+313）（1-313）
=1-（313） 2
=1-9169
= 160169

3.2 逆用公式变化。

乘法公式的逆用也是学习的重要内容，能够运用平方差公式的逆公式也是灵活的学习的重要一点。
a2-b2=（a+b）（a-b）
例9：（1）992 -1
【分析】这道题直接计算比较复杂，但逆用平方差公式就很简单。
解： 原式=（99+1）（99-1）
=100×98
=9800
例10：（1-122）（1-132 ）（1-142）…（1-192）（1-1102）
【分析】直接运算难免较复杂，并且括号里的每两个的项正好式平方相减的形式，这是不难 想到先利用平方差公式，将所求代数式化简，再求值。
解：原式=（1+12 ）（1-12 ）（1+13 ）（1-13 ）（1+14 ）（1-14 ）（1+19 ）（1-19 ）（1+110 ）（1-110 ）
=23×12×43×23×54×…×109×89×1110×910
=12 ×1110
=1120
以上两题逆用乘法公式来解，收到了事半功倍之效，要注意掌握这种方法与技巧。
本文只是对平方差公式的一般问题做了归纳总结，在具体学习过程中，要针对具体问题具体分析，善于思考，才能使解题思路日臻完善。
参考文献
《教与学整体设计》 中国致供出版社.
《数学教师教学用书》 北京师范大学出版社.