简论导数例谈导数在高职数学中运用

摘要：导数是高职数学教学中的一部分内容。它的引入使相应的一些数学方法和解题手段更加的丰富和精妙。导数在解决函数单调性、函数最（极）值，不等式证明以及曲线切线问题等方面的问题中，都是有力的工具。其方法与传统的常规方法相比，更具有明显优势。
关键词：导数；单调性；最值；不等式；切线方程
中图分类号：G718.5
导数是高职数学教学中的一部分内容，它是微积分学中的最基本概念。它是对函数性质研究的有力工具。在函数的单调性、最值等方面，导数都提供了快捷便利的研究方法。甚至在不等式的证明中，导数也能打开一条新的途径。下面通过一些典型例题的解答简单阐述导数的工具作用。

一、导数在证明函数的单调性及求函数单调区间方面的应用

利用拉格朗日中值定理，可以证明定理：设 在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么（1）如果在（a，b）内有 ，则 在内是单调增函数；（2）如果在（a，b）内有 ，则 在（a，b）内是单调减函数。利用这一定理，可以快速地判断函数单调性并求出函数单调区间。
【例1】求函数 的单调区间
解：该函数的定义域为R，得一阶导函数数 。令 ，得驻点 。当 时， ，因此 在区间 内单调递减；当 时， ，因此 在区间 内单调递增。
点评 通过传统方法来证明单调性和求解单调区间，化简证明过程相当的繁琐复杂。而使用导数来解决，过程就会非常简洁。

二、导数在证明不等式的中的应用

利用单调性证明不等式的成立的过程，首先需要构造函数 ，根据题目给定的范围 ，求解出 在范围 上的单调性，而后利用单调性得到不等式，从而来解决原不等式的证明。
【例2】证明：当 时，不等式 的成立
解：构造函数 ，定义域为 。对函数求导得 。因为 ，所以 。即当 时，函数 为增函数。所以 ，有 ，故可得 ，即不等式 的成立。
点评 本例在构造函数式是直接根据不等式构造的。但有些不等式的证明，需要将不等式作适当变形后才能找到构造的函数。
【例3】已知 ，且 为正整数，求证：
分析：由于 ，且 为正整数，所以
故，构造函数 ，利用其单调性可以证明
解：设 ，求导得
∵ ∴ ， ∴ 即
∴
即 在 上单调递减
∵ ∴ ，即不等式得证。
点评 “构造函数”是利用导数来解决不等式证明问题的主要途径。

三、导数在解决最值问题中的应用

利用导数解决最值问题中，主要依靠函数的极值来解决。函数的极值是一个局部概念，仅与极值点左、右两边近旁的函数值比较。整个函数的定义域内可以有多个极值，且极小值也有可能大于极大值。所以在闭区间内的函数的最值可以定义为：
最大值=max{极大值，端点函数值}最小值=min{极小值，端点函数值}（3.1）
利用导数求解最值问题的步骤可以归纳为：
1）令 ，在题目给定的区间内，解得驻点
2）求驻点左右的区间上函数的单调性。若左增右减，则驻点处为极大值；若左减右增，则驻点为极小值；其他情况均不为极值。此过程可以通过列表实现。
3）求解的闭区间端点出的函数值
4）根据公式（

3.1）求出最值

【例4】函数 在区间 内的最值
解：令 ，得 或 ，易得 是区间 内的唯一驻点。
极小值为 ，端点值为 ， ，所以，函数最大值为max{ ， } ，最小值为min{ ， ， }= 。
点评 在本例中，步骤（2）中判断极值点的方法可以替换为考察 的二阶导数。当 时， 为极小值点；当 时， 为极大值点；当 时， 的情况不确定。因此，【例4】中判断极值点的过程可以替换为：
，
取驻点 时，有，
所以 是函数 在给定区间内的极小值点。
此方法，在复杂度和运算量上有一定优势。但是，由于 时， 的极值点情况不确定，所以在应用范围上较窄，没有原来的方法适应的函数更广。
当在利用导数求解实际问题中的最值时，如果函数 在开区间（a，b）内只有一个驻点 ，并且从实际问题本身又可以知道在开区间内的最大值（最小值）确实存在，那么直接可得 就是所要求的最大值（或最小值）。
【例5】如图所示，已知一正方形铁皮边长为90cm，将其四个角分别截去同样大小的一个正方形，做成一个无盖铁箱，问截去的小正方形边长为多少cm，才能使无盖铁箱的容积达到最大？最大容积为多少？
解：设截去的小正方形边长为a cm，铁箱容积为
由题意可知， ，求导可得
令 ，求得（0，45）内的唯一的驻点 ，此时
由于该实际问题中最大值必定存在，所以我们可以源于：硕士论文www.618jyw.com
确定：当 时，铁箱容积达到最大值。所以当截去的小正方形的边长15cm时，铁箱有最大容积为 。
点评 根据实际问题的条件，利用导数能快速求出最值。

四、导数对解决曲线切线问题的应用

在引入导数的过程中，我们就是从求曲线的切线问题开始的，割线转化为切线的思想方法中抽象出了导数的概念。所以导数在解决曲线切线的问题上也起到了有力的作用。
【例6】求过原点与曲线 相切的切线方程
解：原点（0，0）不在曲线上，故设切点坐标为（ ， ），则有 ，该点处的切线斜率为 ，所以切线方程为 。由于原点（0，0）在切线上，代入切线方程可得，于是得到切点坐标（ ， ）回代入切线方程可得
点评 利用好切点处的导数即为曲线在该点处的斜率这一性质。
通过以上例题，可以看到，导数在高职数学中有着广泛的且重要的应用。在解决函数单调性、函数最（极）值，不等式证明以及曲线切线问题等方面的问题中，导数都是有力的工具。其方法与传统的常规方法相比，更具有简洁的过程和明显优势。另外，导数除了在高职数学之外，在其他专业课程也有及其重要的应用，如在物理中，求解加速度等问题。
参考文献：
《数学》编写组编. 数学（第四册）[M]. 江苏教育出版社，2012
华东师范大学数学系编. 数学分析（第二版）[M]. 高等教育出版社，1991.