函数,关于函数凹性新判别法
更新时间：2024-04-09
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【】以凹函数的定义出发探讨了凹函数的充要条件，并给出凹函数新的判定法.
【词】凹函数;开区间;连续函数
【中图分类号】O174.13
【文献标识码】A
定义［1］ 设I为一开区间，f为定义在I上的函数，对任意的x,y∈I，λ∈［0,1］，若
f((1-λ)x+λy)≥(1-λ)f(x)+λf(y)，(1)
则称f为凹函数.
凸函数类似的策略教学论文［2］，证明下面两个判别函数凹性的：
引理1 设f为开区间I的凹函数u，v∈I(uf(x)≥f(u)+f(v)-f(u)[]v-u(x-u).(2)
引理2 设f为开区间I的连续函数,f为凹函数x,y∈I,有
fx+y[]2≥f(x)+f(y)[]
当选取区间I上多个变量时,有下列的定理.
定理1 设f为开区间I上的凹函数x1,x2，…，xn∈I,λ1,λ2，…，λn∈［0,1］且∑n[]k=1λk=1,有
f∑n[]k=1λkxk≥∑n[]k=1λkf(xk).(4)
证明 必要性():（数学归纳法）当k=2时，由定义，(4)式显然成立.设k=n-1时(4)式也成立.当k=n时，x1,x2，…,xn∈I，λ1,λ2，…，λn∈［0,1］.
f∑n[]k=1λkxk=fλ1x1+…+λn-2xn-2+1-∑n-2[]k=1λk·λn-1[]1-∑n-2[]k=1λkxn-1+λn[]1-∑n-2[]k=1λkxn≥λ1f(x1)+…+λn-2f(xn-2)+1-∑n-2[]k=1λkfλn-1[]1-∑k=n-2[]k=1λkxn-1+λn[]1-∑n-2[]k=1λkxn≥λ1f(x1)+…+λn-2f(xn-2)+λn-1f(xn-1)+λnf(xn).
个不等号由假设k=n-1时(4)式成立可得，个不等号由定义可得.
性():λ1,λ2∈［0,1］,x1,x2∈I，由(4)和定义可知f为凹函数.
定理1的类似于凸函数中著名的Jessen不等式.下面的定理2，给出了与凹函数等价的新的条件.
定理2 设f为开区间I上的凹函数x,y,z∈I，
f(x)+f(y)+f(z)[]3+fx+y+z[]3≤2[]3fx+y[]2+fy+z[]2+fx+z[]
x+z[]2=sx+y+z[]3+(1-s)z.（6）
y+z[]2=tx+y+z[]3+(1-t)z.（7）
（6）（7）两式相加可得
x+y+2z[]2=(s+t)x+y+z[]3+(2-s-t)z.
整理可得
(x+y-2z)s+t-3[]2=0.
以而x+y-2z=0或s+t-3[]2=0.若x+y-2z=0,由x≤y≤z可知x=y=z,显然(5)式成立.若s+t=3[]2,由（6）（7）、引理2及定义有
fx+z[]2≥x+y+z[]3+(1-s)f(z).(8)
fy+z[]2≥tfx+y+z[]3+(1-t)f(z).(9)
fx+y[]2≥1[]2f(x)+1[]2f(y).(10)
式(8)~(10)相加后s+t=3[]2就可得(5).
性（）：令y=z，则（5）式可化为
f(x)+2f(y)[]3+fx+2y[]3≤2[]32fx+y[]2+f(y).
即
fx+y[]2≥1[]4f(x)+3[]4fx+2y[]
定理2的推广到区间I上多个变量，这时有下列：
定理3 设f为定义在开区间I上的函数，若x1,x2,…,xn∈I(n≥3),下列不等式成立:
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)[]n+fx1+x2+…+xn[]n≤2[]nfx2+x3+…+xn[]n-1+fx1+x3+…+xn[]n-1+…+fx1+x2+…+xn-1[]n-1
.（12）
则f为凹函数.
证明 令x1=x2=…=xn-1,则(12)可化为
(n-1)f(x1)+f(xn)[]n+f(n-1)x1+xn[]n≤2[]n(n-1)f(n-2)x1+xn[]n-1+f(x1).
整理后可得
f(n-2)x1+xn[]n-1≥n-3[]2(n-1)f(x1)+1[]2(n-1)f(xn)+n[]2(n-1)f(n-1)x1+xn[]n.
n-3[]2(n-1)+1[]2(n-1)+n[]2(n-1)=1，
n-3[]2(n-1)x1+1[]2(n-1)xn+n[]2(n-1)·(n-1)x1+xn[]n=(n-2)x1+xn[]n-1.
由定理1可知f为凹函数.
注 释
基金项目：重庆市高等教育教学革新初中英语教学论文探讨项目（0833229），重庆邮电大学青年教师科技基金项目（A2006-57）．
【文献】
［1］刘玉琏，傅沛仁.数学浅析讲义.北京：高等教育出版社，1992.
［2］J.L.W.V.Jessen,Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes, Acta Math.30(1906),175-193.
【词】凹函数;开区间;连续函数
【中图分类号】O174.13
【文献标识码】A
一、定义及引理
1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凹凸函数的定义，打开了探讨凹凸函数的先河.凸浅析的进展,对于凸函数的探讨已十分透彻,而与凸函数相仿的凹函数探讨得较少.在总结凹函数判别策略教学论文的上,给出了新的判别法.定义［1］ 设I为一开区间，f为定义在I上的函数，对任意的x,y∈I，λ∈［0,1］，若
f((1-λ)x+λy)≥(1-λ)f(x)+λf(y)，(1)
则称f为凹函数.
凸函数类似的策略教学论文［2］，证明下面两个判别函数凹性的：
引理1 设f为开区间I的凹函数u，v∈I(u
引理2 设f为开区间I的连续函数,f为凹函数x,y∈I,有
fx+y[]2≥f(x)+f(y)[]
2.(3)
二、结果当选取区间I上多个变量时,有下列的定理.
定理1 设f为开区间I上的凹函数x1,x2，…，xn∈I,λ1,λ2，…，λn∈［0,1］且∑n[]k=1λk=1,有
f∑n[]k=1λkxk≥∑n[]k=1λkf(xk).(4)
证明 必要性():（数学归纳法）当k=2时，由定义，(4)式显然成立.设k=n-1时(4)式也成立.当k=n时，x1,x2，…,xn∈I，λ1,λ2，…，λn∈［0,1］.
f∑n[]k=1λkxk=fλ1x1+…+λn-2xn-2+1-∑n-2[]k=1λk·λn-1[]1-∑n-2[]k=1λkxn-1+λn[]1-∑n-2[]k=1λkxn≥λ1f(x1)+…+λn-2f(xn-2)+1-∑n-2[]k=1λkfλn-1[]1-∑k=n-2[]k=1λkxn-1+λn[]1-∑n-2[]k=1λkxn≥λ1f(x1)+…+λn-2f(xn-2)+λn-1f(xn-1)+λnf(xn).
个不等号由假设k=n-1时(4)式成立可得，个不等号由定义可得.
性():λ1,λ2∈［0,1］,x1,x2∈I，由(4)和定义可知f为凹函数.
定理1的类似于凸函数中著名的Jessen不等式.下面的定理2，给出了与凹函数等价的新的条件.
定理2 设f为开区间I上的凹函数x,y,z∈I，
f(x)+f(y)+f(z)[]3+fx+y+z[]3≤2[]3fx+y[]2+fy+z[]2+fx+z[]
2.（5）
证明 必要性():不失一般性，不妨设x≤y≤z.若y≤x+y+z[]3，则y≤x+z[]2.以而x+y+z[]3≤x+x+z[]2+z[]3=x+z[]2≤z,x+y+z[]3≤x+z[]2≤y+z[]2≤z，则有着s,t∈［0,1］，使得x+z[]2=sx+y+z[]3+(1-s)z.（6）
y+z[]2=tx+y+z[]3+(1-t)z.（7）
（6）（7）两式相加可得
x+y+2z[]2=(s+t)x+y+z[]3+(2-s-t)z.
整理可得
(x+y-2z)s+t-3[]2=0.
以而x+y-2z=0或s+t-3[]2=0.若x+y-2z=0,由x≤y≤z可知x=y=z,显然(5)式成立.若s+t=3[]2,由（6）（7）、引理2及定义有
fx+z[]2≥x+y+z[]3+(1-s)f(z).(8)
fy+z[]2≥tfx+y+z[]3+(1-t)f(z).(9)
fx+y[]2≥1[]2f(x)+1[]2f(y).(10)
式(8)~(10)相加后s+t=3[]2就可得(5).
性（）：令y=z，则（5）式可化为
f(x)+2f(y)[]3+fx+2y[]3≤2[]32fx+y[]2+f(y).
即
fx+y[]2≥1[]4f(x)+3[]4fx+2y[]
3.(11)
由定义及(11)可知f为凹函数.定理2的推广到区间I上多个变量，这时有下列：
定理3 设f为定义在开区间I上的函数，若x1,x2,…,xn∈I(n≥3),下列不等式成立:
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)[]n+fx1+x2+…+xn[]n≤2[]nfx2+x3+…+xn[]n-1+fx1+x3+…+xn[]n-1+…+fx1+x2+…+xn-1[]n-1
.（12）
则f为凹函数.
证明 令x1=x2=…=xn-1,则(12)可化为
(n-1)f(x1)+f(xn)[]n+f(n-1)x1+xn[]n≤2[]n(n-1)f(n-2)x1+xn[]n-1+f(x1).
整理后可得
f(n-2)x1+xn[]n-1≥n-3[]2(n-1)f(x1)+1[]2(n-1)f(xn)+n[]2(n-1)f(n-1)x1+xn[]n.
n-3[]2(n-1)+1[]2(n-1)+n[]2(n-1)=1，
n-3[]2(n-1)x1+1[]2(n-1)xn+n[]2(n-1)·(n-1)x1+xn[]n=(n-2)x1+xn[]n-1.
由定理1可知f为凹函数.
注 释
基金项目：重庆市高等教育教学革新初中英语教学论文探讨项目（0833229），重庆邮电大学青年教师科技基金项目（A2006-57）．
【文献】
［1］刘玉琏，傅沛仁.数学浅析讲义.北京：高等教育出版社，1992.
［2］J.L.W.V.Jessen,Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes, Acta Math.30(1906),175-193.
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