双曲线,2011年高考全国卷压轴题探究与拓展

摘要：对2011年高考全国卷压轴题做了探讨， 圆锥曲线的新性质拓展.
词：圆锥曲线；虚焦点
唯物辩证法自然界、人类社会和人类思维等领域的任何事物和谐与对立的统一体. 数学，人类思维的载体，它同样和谐与对立的统一体.
圆锥曲线，数学，当然是对立与和谐的. 单以对立的角度看，它们统一的定义中离心率的范围不同，对立思维方式. ，以整体和全面来看，圆锥曲线和谐的统一体，不但有统一的定义，圆锥曲线有趣的性质出现的， 在以往的文献中都给出统一的性质.在中，对一道高考题做了探讨，圆锥曲线性质，以供大家.
2011年全国大纲理21题第（1）问是有关圆锥曲线的一道综合题，如下，已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为－的直线l与C交于A，B两点，点P++=0
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）略．
图1
由上题自然会问理由.
理由1.推广到一般情形，椭圆的焦点弦若具有上述性质则其斜率只与离心率有关，那么焦点弦的斜率样的条件就会有同样的性质呢？
理由

2.双曲线和抛物线会有类似的性质吗？

以理由1出发，了圆锥曲线的新的性质.
性质1.设椭圆C：+=1，a>b>0，过F1（c，0）且斜率为k=（图2
证明：由F1（c，0），得l的方程y=（x－c）.
代入+=1，e=和a2－c2=b2化简得：4c2x2－2a2cx－3a2c2+a4=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2=，y1+y2=（x1－c）+（x2－c）=－.
++=0，
所以x0=－（x1+x2），y0=－（y1+y2），x0=－，y0=.
所以+=+==1.
注：在性质1中， 当斜率k=－时，也成立；当焦点F1（c，0）变为F2（－c，0）时，仍然成立.
?摇上述性质中斜率、焦点都有的对称性，做了的探讨，性质

2. 为了叙述方便，引入新的定义.

定义1. 对于椭圆C：+=1，a>b>0，称F3（0，c），F4（0，－c）为椭圆的两个虚焦点. 对于椭圆C：+=1，a>b>0，称F3（c，0），F4（－c，0）为椭圆的两个虚焦点.
定义2. 对于双曲线C：－=1，a>0，b>0，称F3（0，c），F4（0，－c）为双曲线的两个虚焦点. 对于双曲线C：－=1，a>0，b>0，称F3（c，0），F4（－c，0）为双曲线的两个虚焦点.
性质2.设椭圆C：+=1，a>b>0，过虚焦点F3（0，c）且斜率为k=的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P++=0，则点P在椭圆C上.
证明：同性质1.
相应于理由2，双曲线C：－=1，a>0，b>0，过焦点F1（c，0）的的弦确定的点P都不具有上述性质. ：
设双曲线C：x2－=1. 焦点F1（2，0），过直线l：y=k（x－2）， l与双曲线C交于A，B两点，且P++=0. 断言对于任意的k∈R，P不在双曲线C上. ，直线l：y=k（x－2）代入x2－=1有（3-k2）x2+4k2x－4k2－3=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2=，y1+y2=；由++=0可得x0=，y0=；若P（x0，y0）在双曲线C则有2－=1，方程无实根.
性质3.设双曲线C：－=1，a>0，b>0，过虚焦点F3（0，c）且斜率为k=的直线l与双曲线C交于A，B两点，点P++=0，则点P在曲线C上.
证明：同性质1.