研讨初探在数学教学中培养学生思维能力对策探讨

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学生能力的考核，能力的培养在很大程度上依赖于思维能力的提高。"数学是思维的体操"，如何在数学教学过程中培养学生的思维能力，这是我们数学教师要认真研究的重大课题。本文对此谈一点体会。

1. 深入理解概，培养学生思维的深刻性

正确理解概念，是学好数学基础知识，掌握基本技能的前提。教学中不仅要搞清各种概念的来龙去脉，而且要指导学生透彻地理解概念，才能用概念去理解题意、解决问题、提高学生的思维能力。例如双曲线的定义，必须紧扣定义中的"两定点"、"差"及"常数"这些关键性的词语，只有这样才能搞清双曲线的确切含意，才能以此判断某一曲线是否为双曲线，两定点F1和F2距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹，一定是双曲线吗？
例1：到两定点F1（-5，0），F2（5，0）距离之差的绝对值是12的点的轨迹是（ ）
A、椭圆 B、双曲线 C、圆 D、都不是
很多学生都选择了B，这是错误的。产生错误的根源是没有理解双曲线定理义中的"小于|F1F2| "这一限制条件的重要性，如果定义中的常数改为等于|F1F2| ，此时动点的轨迹是以F1 、F2为端点的两条射线；如果定义中常数大于|F1F2| ，此时动点的轨迹不存在，所以本题应该选D.

2.一题多解，培养学生发散思维

对一个题目，从不同角度分析，采用不同方法求解，是开拓学生思路，培养学生掌握解题方法的重要途径。
例2：已知复数Z1，Z2满足|Z1|=|Z2| =1，且，求|Z1+Z2| 的值。
解法1：设Z1=a+bi，Z2=c+di（a，b，c，d∈R），则有：a2+b2=c2+d2=1，（a-c）2+（b-d）2 ，即|Z1+Z2| =2 ；
解法2：设Z1=cosθ1+isinθ1，Z2=cosθ2+isinθ2，θ1θ2 则有（cosθ1-cosθ2）2+（sinθ1-sinθ2）2=2 cos（θ1-θ2）=0
（cosθ1+cosθ2）2+（sinθ1+sinθ2）2=2即 =|Z1+Z2|= 2
解法3：因|Z1|2+|Z2|2 ，|Z1-Z2|2=2 故有|Z1|2+|Z2|2=|Z1-Z2|2
设Z1，Z2对应的点分别为A，B（如图），则有|OA|2+|OB|2=|AB2|所以ΔAOB为等腰直角三角形，又|Z1+Z2| 是以OA，OB为边的平行四边形的对角线OC，而这个平行四边形是正方形，故|Z1+Z2| =|OC| =2
解法4：由Z1·Z1=|Z1|2=1 ，Z2·Z2=|Z2|2=1 ，与（Z1-Z2）（Z1-Z2）=2Z1·Z2+Z2·Z1=0
∴（Z1+Z2）（Z1+Z2）=Z1·Z1+Z1·Z2+Z2·Z1+Z2·Z2=0
即|Z1+Z2|= 2
这样不仅完满的解决了这一问题，而且比较鉴别，可以避繁就简，明确这一题目的基本解法。更重要的是学生通过问题的解决，集中全力回忆了所学知识，并以辩证的观点进行逻辑分析，从而使所学知识融会贯通，使学生的逻辑思维能力和解决问题的能力都得到了进一步的提高。

3.掌握知识结构体系，培养联想思维

数学中有许多知识是相互联系的，有许多问题可以用同一思维或同一方法解决的。因此在教学中应选取形式不同，性质相近，思维相仿，方法类同的题目，把它们集中串连在一起，使学生对同一概念，同一公式在不同场合中的应用有所了解、有所启发，从而发现问题、总结规律，使其掌握一种方法。解决一类问题。例如，几何中学习了"点在直线上"的证明方法后，对"三点共线"和"三线共点"的问题，通过探索，发现它们与"点在直线上"的问题是密切相关的。因为"三点共线"的证明，只要取其中两点定义直线，再证明第三点在此直线上就行了；而"三线共点"的证明只要证明其中两条直线相交一点，再证明焦点在第三条直线上就可以了。因此"三点共线"和"三线共点"的证明都可以都可归结为"点在直线上"的证明问题。这样就是这类较难的数学问题归结出一般方法。
又如，求轨迹方程是解析几何中的重要内容，也是一个难点，在教学中，通过串联例题，归结出求轨迹问题的一般方法：一是能用解析几何公式或平面几何定理列出方程，可用直接法；二是符合圆锥曲线定义的可用定义法；三是有两动点，而另一动点也随之运动的代入法；四是上诉方法都不适合的则引进参数法。使用参数法的方法是：如已知直线斜率，从纵截距b作参数；已知直线经过一定点利用斜率k作参数：求两动直线交点的轨迹则用同一参数，写出两动直线的方程；是旋转运动的动点的轨迹，用θ（角度）作参数；是平行移动的动点的轨迹，用t（线段长度）作参数。这样通过归纳分类，学生有章可循，遇到求轨迹问题不再感到难以下手。实践证明在明确概念、熟记法则的基础上，掌握主要题型的解题规律，是减轻学生负担，提高解题能力的一种有效方法。

4.逐步引申，培养创新思维

如复数这一章，有不少习题往往是某一问题的特例。教学时，积极引导学生对这些特例做适当的引申、推广，寻找一般规律，可以激发学生的学习兴趣，并培养其探研和创新能力。
例3：已知 ，求证 Z1，Z2∈C，求证Z1，Z2中至少有一个是零（（甲种本）P112第16题）
我在一次习题课中，通过一题多解进而引导学生做出了如下引申、推广和应用，激发了学生的学习兴趣，取得了良好的教学效果。
问题：设Z1，Z2…… ，Zn∈C且 ，则Z1，Z2，……Zn 中是否至少有一个是零呢？
探索：|Z1，Z2，……Zn|=|Z1|·|Z2|……|Zn| ，又Z1·Z2……Zn=0 ，∴|Z1|·|Z2|……|Zn|=0 ，即|Z1|=0 或|Z2|=0 ，……，或 |Zn|=0 故，Z1，Z2，…… ，Zn中至少有一个为零。
反之显然成立，因此可归纳可得：
命题：设Z1 ，Z2，……，Zn∈C则Z1，Z2，……，Zn 中至少有一个为零的充要条件是Z1·Z2……Zn=0
运用上述命题，可方便的证明如下一些问题：
1.已知 ，且Z1+Z2+Z3=1Z1+1Z2+1Z3 ，求证：Z1源于：大学生毕业论文www.618jyw.com
，Z2，Z3中至少有一个复数是1.
2.已知，Z1+Z2+Z3=1Z1+Z2+Z3 ，证明：三个复数Z1，Z2，Z3 分别对应的向量OZ1 、OZ2 、OZ3 中至少有两个向量的和必为零。

5.有意设陷，培养学生思维的严谨性

学生在解题过程中，由于概念不清，审题不周，混淆条件，忘却约束，常常出现解题不严谨，乃至错误，这就是教育心理学上的"迁移干扰"。为了解决这个问题，我在复习课中采用了"有意设陷"的办法，就是针对平时教学中积累的学生知识中的缺陷，把易出错的题目归类编组，让学生完成，这样就有不少学生不自觉地落入"陷阱"。这是他们必然或产生强烈震动，引起学生强烈的求知。此时再因势利导，分析落陷的原因，就能使学生悟出一定教训，然后自启发学生寻求正确的解题途径，学到严谨的方法。
例4：判断f（x） =x4+x3x+1的奇偶性
错解：解析式简化为f（x）=x3
∴f（-x）=-f（x），∴函数为奇函数。
学生在判断函数奇偶性时，常常忽视给定函数的定义域，习惯性地只用f（-x） 与f（x） 的关系去判定，就会出现错误。事实上，f（x）= x4+x3x+1的定义域为{x|x≠-1，x∈R} ，因而f（x） 是非奇非偶函数。
在讲数学归纳法时，让学生首先判断函数f（n）=n2+n+17 的值是否永远是质数，当学生试了n=1，2，3，……，15 发现其值都是质数，结果得出结论，："不论n为任何自然数，此函数值都为质数"。这时给出n=16让学生再试，结果162+16+17= （16+1）+17=16 17+17=172却成了合数。这说明了用不完全归纳法所得出的结论不一定正确，从而引起学生学习数学归纳法的强烈愿望，同时也为学习数学归纳法的第二个步骤打下了坚实的基础。犹如极值解题中常出的错误，按求极值的常用方法分类，编选了如下内容的练习题：在利用重要不等式求极值时，忽略了等号成立的可能性；在利用二次函数求极值时，忽略了二次项系数的符号，根的判别式及其定义域；在三角函数求极值中，忽略了约束条件|sinx|≤1 和|cosx|≤1 ；在引进参数求极值时，忘记了参数的约束条件，在实际问题求极值时，忽略了允许值的范围以及生搬硬套，随意推导造成错误。这样使学生由于知识面偏窄，思想松懈造成的解题错误得到了及时防止，从而提高了解题能力和运算能力。