研究抽象让思维在抽象中飞翔

摘 要：合作学习是培养学生合作意识的重要方式。在小组合作学习、探究中，小组成员相互支持、配合，促使他们积极承担起在完成共同任务中的个人责任。借助一次解答抽象函数问题的机会，通过问题的发现及解决的合作研究探讨过程，让思维在抽象中飞翔，极大地提高了学生对抽象函数的理解和解答能力。
关键词：小组合作；抽象函数；思维飞翔
合作状态下的学生思维显得特别活跃，他们能从同伴的交流中得到更多的启发，真刀地去探究。抽象函数是一种特殊类型函数，其特点是抽象性，较难理解，是学生学习的一个难点，且它又是高考中的热点。求解这类问题除应具有扎实的基础知识之外，还应具备较强的抽象思维和逻辑推理能力。现将活动的过程展示如下：
月考试卷分下去的第二天，实验小组的几个学生拿着卷子对我说：“第20题的第三步老师讲解得好像有错。”“是吗？”我装着有点怀疑的回答。下面是给学生第20题第三步的解法：
20.已知函数f （x）=x+■
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明。
（2）用定义证明f （x）在（0，1）上是减函数。
（3）函数f （x）定义在（0，1），解不等式f （1-m）+f （1-2m）<0，其中第（3）步解答如下：
不等式f （1-m）+f （1-2m）<0等价于：f （1-m）因为f （x）为奇函数，所以，f （1-m）因为f （x）为（0，1）的增函数
所以1-m>2m-1，所以，m<■①
又0<1-m<1，0<1-2m<1 ②
由①和②得，0我看了一会儿答案后问学生：你们认为本题该怎样解答？
他们认为本题不能解答，原因是：给定的区间没有对称。
我会意地笑了说：“是，这题是不能解答的，前面的解答看似是对的，其实漏洞百出。事实上考完试后，我已经发现该题这样解答是错的，本以为你们不会发现问题的，所以讲评时我就不提出来，想不到你们真行啊！”
讨论完后，我鼓励他们利用课后时间结合几何画板作图并做分析。他们不但分析了本问题，还从所做的练习中整理出相关的一些习题。
下面是他们的一些研究成果：
从图象可以看出，在区间（0，1）上f （x）>0恒成立，所以原不等式无解。
他们还上网查找及从作业中整理了一些相关习题，如图1。

1.已知函数f （x）=■是定义在（-1，1）上的奇函数，且f （■）=■。

（1）确定函数f （x）的解析式。
（2）用定义证明f （x）在（-1，1）上是增函数。
（3）解不等式f （t-1）+f （t）<0。
2.定义在（-2，2）上的函数f （x）是奇函数，并且在（-2，2）上是增函数，求满足条件f （2+m）+f （1-2m）>0的实数m的取值范围。
3.定义在R上的偶函数f （x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），■<0，则（ ）
A. f （3）C. f （-2）对以上这些具有共性的习题他们总结出：只有在区间具有对称性的前提下，这类不等式才会有解。
对他们的研究我给予肯定，但对于上面的这类相似问题我也提出了我的看法，进一步加强他们的思维水平和分析问题的深度。我对上面的问题分析是：
解法二：不等式f （1-m）+f （1-2m）<0
等价于：（1-m+■）+（1-2m+■）<0
该不等式解答结果是无解，所以本题不能说不能解答。对该类不等式我们有两种解法。一是利用函数的性质；二是直接带入解答不等式。此外，在研究该问题过程中也发现了另一个更重要的问题，该问题如下：
已知函数f （x）是定义域在R上的奇函数，且在区间（-∞，0）上单调递减，求满足f （x2+2x-3）>f （-x2-4x+5）的x的集合。
本题解答应该如图分两种情况（图

3、图4种情况是一样的）进行分析：

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然，对该问题的解答设计者的本意不是这样的吧。
自主、合作学习不是让每个学生各学各的，而是要激发起全体学生的学习兴趣，使每个学生都积极主动地去探索、去学习，并加强合作交流，少走弯路。合作、探究学习让学生由被动变为主动，把个人自学、小组交流、全班讨论、教师指点等有机地结合起来。特别是在分组讨论中，发挥了学生的主体作用，组内成员相互合作，小组之间合作、竞争，激发了学习热情，挖掘了个体学习潜能，增大了信息量，使学生在互补促进同提高。
在信息技术时代，合理运用信息技术进行研究，有利于学生思维的发展和拓宽，有利于提高学生的研究能力和拓宽他们的视野，加深他们对问题的研究深度，有利于培养学生自主创新的能力。所以，作为教师，我们要努力倡导合作、自主探究，合理运用信息技术，让学生的思维在数学问题中飞翔。
（作者单位 福建省泉州外国语中学）