试论不等式不等式恒成立理由中参数求解对策

【摘 要】 不等式恒成立问题是高考重要的考点，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法，成为历年高考的一个热点.考生对于这类问题往往感到棘手，甚至难以入手，寻找不到求解的钥匙.本文结合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略，研究常见的题型归纳通性通法。
【关键词】 不等式；恒成立
2095-3089（2013）17-0-02
题型

一、可化为二次函数类型

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。常常有以下两类情况：

(一)可化为二次函数在R上恒成立问题

设，
（1）上恒成立；
（2）（2）上恒成立。
例1：对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。

(二)利用根的分布研究恒成立问题

设
（1）当时，上恒成立，
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
例题2：（07年广东理科卷20）已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上恒有零点，求实数a的取值范围。
解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，
a=0时，不符合题意，所以a≠0，方程f（x）=0在[-1，1]上有解或或或或a≥1.
所以实数a的取值范围是或a≥1.

二、（分离变量法）

（1）利用函数最值法
如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。
恒成立，即大于时大于函数的最大值。
恒成立，即小于时小于函数的最小值。
例题3：（2010天津文数）（1摘自：毕业论文下载www.618jyw.com
6）设函数f（x）=x-，对任意x恒成立，则实数m的取值范围是
【答案】m<-1
【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
已知f（x）为增函数且m≠0
若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。若m1，解得m<-1.
例题4（2009天津卷文）设函数
（Ⅰ）当曲线处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。
【答案】（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
（3）解：由题设，
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得
因为
若，而，不合题意
若则对任意的有
则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是，解得综上，m的取值范围是
练习.已知函数在处取得极值，其中为常数.（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.
分析：不等式恒成立，可以转化为
解：（I）（略）.
（II）（略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为.
（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，
此极小值也是最小值.要使（）恒成立，只需，解得或.
所以的取值范围为.
评注：最值法是我们这里最常用的方法.恒成立；恒成立.
（2）转化为求函数值域
例题5（07年广东理科卷20）已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上恒有零点，求实数a的取值范围。
解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又
∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1，5]，，
设，时，，此函数g（t）单调递减，时，>0，此函数g（t）单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解∈或。

三、反客为主，变换主元法

在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。
例6：对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是 .
分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐.应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元.
解：设，，则原问题转化为恒成立的问题.
故应该有，解得或.
所以实数的取值范围是.
评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题，利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。

四、数形结合法

对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。
例题7：（2009陕西卷文25）已知函数
求的单调区间；
若在处取得极值，直线y=my与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。
解析：（1）（略）
当时，的单调增区间为
当时，的单调增区间为；的单调减区间为。
（2）因为在处取得极大值，
所以
所以
由解得。
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值。
因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，
结合的单调性可知，的取值范围是。
第问充分体现了利用两个函数的图像来研究他们的交点情况，蕴含了数形结合数学思想，直观明了并且正确地做出解答。

五、单调性法

例8.若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 .
解：设，则，有.这样，，
则，函数在为减函数.因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是.
评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解.
六、总结
求解不等式恒成立问题中的参数问题，既要掌握以上常见的基本方法基本技能，又要综合运用高中数学知识来创造性地加以解决。
参考文献
《高中新课标同步导学》数学选修1-1
《五年高考三年模拟理科数学》