阐释考点中考概率考点背景

概率作为与学生学习生活息息相关的内容，是各地中考的一个必考知识.纵观2012年中考试题，概率试题的背景包罗万象：既有以纯粹的数学知识作为背景，又有以学生生活作为背景，让学生感到真实、亲切，充分体现了数学的人文教育精神；既有以学生感兴趣的游戏活动为背景，又有以学生关注的社会热点为背景，具有一定的趣味性和应用性，充分体现了在玩中学数学这一理念.本文以2012年中考试题为例，就概率考点的背景进行分析与点评，供同学们学习时参考.
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一、 以代数知识为背景

例1 （2012·成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a（a-3）=0 有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是 .
解析 由方程有两个不相等的实数根可知，[-2（a-1）]2-4a（a-3）>0，解得a>-1.
将（1，0）代入y=x2-（a2+1）x-a+2，得a2+a-2=0，解得a=1，a=-2.
可见，符合要求的数字为0，2，

3.故答案为.

例2 （2012·广东）有三张正面分别写有数字-2，-1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）.
（1） 用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；
（2） 求使分式+有意义的（x，y）出现的概率；
（3） 化简分式+，并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率.
解析 （1）用列表法表示（x，y）所有可能出现的结果：
（2） 当（x，y）取（-1，-2）、（1，-2）、（-2，-1）、（-2， 1）时，分式有意义，故概率是；
（3） +=.
当（x，y）取（1，-2）、（-2，1）时，分式的值为整数，故概率是.
点评： 以上两题从考查结果看都是求概率，并且都以分式、方程、函数等代数知识为背景.不难发现，与概率试题相结合的代数知识涉及的面非常广.试题既关注学生对概率核心思想的理解，又关注学生对数与代数中基本知识与基本技能的掌握情况，培养了学生综合解决问题的能力，这类问题的考查近几年正在初步升温.

二、 以几何知识为背景

例3 （2012·苏州）在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.
（1） 从A、D、E、F四点中任意取一点，以所取的这一点及B、C为顶点三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是？摇？摇；
（2） 从A、D、E、F四点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表求解）.
解析 （1）从A、D、E、F四点中任取一点，共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案为；
（2） 用树状图列出所有可能的结果：
∵ 以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴ 所画的四边形是平行四边形的概率==.
例4 （2012济宁）有四张形状、大小和质地完全相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张.
（1） 请你用画树状图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；
（2） 如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；
（3） 若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px+ qy=360，求每种平面镶嵌中p、q的值.
解析 （1）用列表法表示所有可能出现的结果：
（2） 根据平面镶嵌的定义，能构成平面镶嵌的多边形有正三角形与正方形，正三角形与正六边形，所以两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率==；
（3） 当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，有60p+90q=360，即2p+3q=12.
因为p、q是正整数，所以p=3，q=2；
当正三角形和正六边形构成平面镶嵌时，有60p+120q=360，即p+2q=6.
因为p、q是正整数，所以p=4，q=1或p=2，q=2.
点评： 以上两例都是考察学生利用树状图或列表法正确列举出所有结果，再利用概率公式求出概率，虽然难度不大，但以几何图形为背景，巧妙地把概率与图形的判定、图形的镶嵌等几何知识相结合，解决此类问题的关键除了要对概率相关知识透彻理解外，还要对几何知识熟练掌握.以前虽然也有把概率与几何图形相结合的考题，但今年的几何背景更为新颖，是2012年数学中考试题的一大亮点.

三、 以统计知识为背景

例5 （2012·内江）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5∶2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1） 求出样本容量，并补全直方图；
（2） 该年级共有学生500人，请估计全年级在这天发言次数不少于12的次数；
（3）已知A、E组发言的学生中都恰有1位女生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率.
解析 （1）根据B、E两组发言人数的比求出B组发言人数所占的百分比为20%，根据直方图可知B组的人数为10，故样本容量为10÷20%=50人，C组人数为50×30%=15人；根据扇形统计图求出F组人数所占的百分比为10%，故F组人数为50×10%=5人.图略；（2）根据表格可知E、F两组学生在这天发言次数不少于12次，所以估计全年级在这天发言次数不少于12次的人数为：500×（8%+10%）=90人；
（3） A组发言的学生：50×6%=3人，所以有1位女生，2位男生，
E组发言的学生：50×8%=4人，所以有1位女生，3位男生，
列表如下：
故P（一男一女）=.
点评： 本题属于概率与统计知识的综合应用，题目所有的数据信息都包含在图表中，很好地考查了学生的读图识图以及对概率的意义及计算等知识的理解.把统计知识与概率相结合进行考查，突出了二者的联系，是最常见的概率试题类型之一.

四、 以游戏活动为背景

例6 （2012·湛江）某校初三年级⑴班要举行一场毕业联欢会，规定每个同学分别转动下图中两个可以自由转动的均匀转盘A、B.转盘A被均匀分成三等份，每份分别标上1，2，3三个数宇；转盘B被均匀分成二等份，每份分别标上4，5两个数字.若两个转盘停止后指针所指区域的数字都为偶数（如果指针恰好指在分格线上.那么重转直到指针指向某一数字所在区域为止），则这个同学要表演唱歌节目.请求出这个同学表演唱歌节目的概率（要求用画树状图或列表方法求解）.
解析 用树状图列举出所有可能出现的结果：
∵共有6种等可能的结果，两个转盘停止后指针所指区域的数字都为偶数的有1种情况，
∴这个同学表演唱歌节目的概率为.
点评： 以游戏活动为背景是学生最感兴趣的试题，因为它们都以学生的实际生活和实践经验为载体，在熟悉的问题情境中正确分析随机事件发生的概率.每一个人对数学的喜爱和感悟是不同的，以游戏活动为背景的好处是学生在做数学和玩数学的过程中不知不觉地亲近了数学，真正体现了以人为本.

五、 以日常生活为背景

例7 （2012·深圳）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同.小颖任意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）.
A. B. C. D.
解析 根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.所以小颖吃到红豆粽的概率P==，故选B.
例8 （2012·张家界）第七届中于2012年5月18日至20日在湖南召开，设立了长沙、株洲、湘潭和张家界4个会展区，聪聪一家用两天时间参观两个会展区：第一天从4个会展区中随机选择一个，第二天从余下3个会展区中再随机选择一个，每个会展区被选中的机会均等.
（1） 请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；
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求聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率；
（3） 求张家界会展区被选中的概率.
解析 （1）用树状图列举出所有可能出现的结果：
则共有12种等可能的结果；
（2） 聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的就1种情况，故概率为；
（3） 张家界会展区被选中的有6种情况，故P（张家界会展区被选中）==.
点评： 现实生活中充斥着大量随机现象，以现实生活为背景是中考考查概率的大趋势，这就要求学生用数学的眼光去观察周围的环境和社会，分析现实生活中的随机事件，从而正确计算一些简单事件发生的概率.从概率的现实价值来看，它是初中数学不可缺少的组成部分.在平时的学习过程中，我们要走出课堂，走向社会，学会数学的思考日常所见所闻，从而不断提高自身数学素养.
（责任编辑：王睿枫）