直线,教师用书1道习题解答商榷

摘要：就人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》中《

3.1两直线交点坐标》一个探究题在教师用书中的解答进行讨论，并提出相关的教学倡议．

关键词：直线；方程；交点
人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》中《3.3.1两直线交点坐标》一节中有如下一个探究：当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表示什么图形？图形有何特点？在相应的习题3.3中也有如下习题：已知直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0相交，证明方程A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（*）表示过l1与l2交点的直线．
《教师用书》（以下简称《用书》）中关于这道习题的解答是分两步进行的：第一步，证明两直线交点在（*）式所表示的曲线上；第二步，证明（*）表示的曲线是一条直线．
对于第一步，《用书》中设出两直线交点为P，证得P满足（*）式，就得到“点P在方程A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0表示的直线上”这一结论． 事实上，此时我们还没有证明（*）式表示的是一条直线！而这正是第二步要做的事情． 所以，笔者倡议将“直线”二字改为“曲线”，或者将两个证明步骤的位置调换．
对于第二步，在第一版的《用书》中，将（*）式整理成（A1+λA2）x+（B1+λB2）y+（C1+λC2）=0，就判定“这是关于x，y的二元一次方程”，这显然是不严谨的． 幸而在第二版中已经做了修正，增加了“A1+λA2，B1+λB2不同时为零（因为l1与l2相交）”． 修正之后，逻辑上似乎是清楚了，但是学生能否理解A1+λA2、B1+λB2不同时为零？在这个地方有没有必要跟学生浅析清楚？这引起笔者的深思小学英语教学论文．
事实上，直线l1与l2相交，则应有A1 B1A2 B2≠0． 若A1+λA2，B1+λB2均为零，则关于λ的方程组A1+λA2=0，B1+λB2=0有实数解，当且仅当A1 A2B1 B2=0． 由此得出矛盾，以而，A1+λA2，B1+λB2不同时为零．
以上证明非常轻巧，然而对于没有接触过矩阵的学生，却只能分类讨论． 若A1+λA2=0且B1+λB2=0，则关于λ的方程组A1+λA2=0，①B1+λB2=0 ②有实数解． 情况一：A2≠0，由①有，λ=－，代入②式，B1－B2==0，即A2B1－A1B2=0，所以l1∥l2． 矛盾！（若A1≠0，则A2B1－A1B2=0?圯－=－?圯l1∥l2；若A1=0，则A2B1－A1B2=0?圯A2B1=0?圯B1=0?圯l1不表示直线）情况二：A2=0，由①有，A1=0． 又由于A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0表示直线，故A1，B1不同时为零，A2，B2不同时为零． 于是，B1，B2均不为零． 所以l1：B1y+C1=0，l2：B2y+C2=0． 此时，直线l1与l2平行，矛盾！
即使《用书》省略了以上烦琐的推理，但笔者认为对于正在构建成熟逻辑系统的学生来说，这些说理是十分重要的． 教师不能因嫌麻烦或者以为简单而跳过一些重要的步骤，否则学生一开始可能会困惑，久而久之，也就学着教师“想当然”了，显然，这是不利于学生长远的数学学习的．