直线,漫谈n条两两异面直线交线性质

在2010年高考全国Ⅱ理科卷中，有如下试题：
题1：与正方体ABCD A1B1C1 D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点
A.有且1个B.有且2个
C.有且3个D.有无数个
关于本题的求解，考虑建立空间直角坐标系，求出x，y，z之间的联系，即为点的轨迹方程.可得其轨迹方程为x=y=z，即空间一条直线，这样的点有无数多个.
实际上，到两条异面直线距离相等的点的集合是“双曲抛物面”，这不禁让我想起1997年全国高中数学联赛的关于“双曲抛物面”的试题：
题2：若空间三条直线a，b，c两两成异面直线，则与a，b，c都相交的直线有
A.0条B.1条
C.多于1的有限条D.无穷多条
本题专家的，“颇为有趣”，这道试题了如下的性质：
命题1：与两两异面的3条直线都相交的直线有无穷多条，且除个别点外，过这三条直线上任一点的交线有着且（参阅命题3）.
前年，曾联系直纹曲面，探讨了n (3n≥)条两两异面的直线的交线性质，如交线有着？若有着，？等等，是用中学几何策略教学论文，讨论了在一般几何书涉及的理由，有趣的结果.下面先给出与上述理由有关的直纹
π都有两族无穷多条母线，每一族母线都可组成相应曲面.
（2）过曲面上每一点，每一族母线有且一条.
（3）每两条同族母线不共面.
（4）每两条异族母线必共面.
（5）经过曲面上每一点有且两条母线.
（6）曲面1π的同族3条母线不平行于同平面，而曲面
π的同族3条母线平行等于同平面.
命题2说的是曲面上两组异面直线性质（可用剖析法证明），这些性质为命题1了实际例子，，它们在建筑学上的.那么，反过来，任给两两异面的n (3n≥)条直线有着曲面1π或曲面
π（3条平行于同平面）这3条直线，和这3条直线都相交的直线组成了相应曲面的一族母线（最多相差两条母线）.
浅析一：把交线看作两平面交线，这样把作交线的几何策略教学论文剖析化即得.
证明一：分两种情形：
任给两两异面3条直线a，b，c.
1.a，b，c不平行于同平面时，建立空间仿射坐标系（如图1），Ox，Oy，Oz为平行六面体
C，，，
再设(0 0)Pt，，为直线c上任意一点，现求过P和a，b，c都相交的直线τ的方程.
∵τ必是过P，a和P，b所确定两平面的交线，设
BB（于0t =或1t =的情况）组成了曲面②，也说它们恰好是曲面②的一族母线.

2.当a，b，c平行于同平面时，建立仿射坐标系（如图2），面 Bm，，，

又设直线c上点(01)Pt，，，则不难求得过P和a，b，c都相交的直线方程PM为：
③，消去t得二次曲面方程2π：(1)0(0 1)mxzmyzmym??+=≠，④，当0t =时，交线为直线 2π直截了当地为直线组成，了以另一角度探讨它们的性质的可行途径.
浅析二：在证一坐标下，直线在二次曲面上条件，用待定系数法证之，（详证略）.
浅析三：两线共面条件，可行列式和齐次线性方程组讨论证明.
证明三：在证一的坐标系下，仍分两种情形.
如证一中图1，直线a为过(1 0 0)A，，方向向量坐标为(0 1 0)，，，b为过
C，，方向向量坐标为(1 0 0)，，，c为过(0 0 0)D，，方向向量为(0 0 1)，，，设与此a，b，c都相交的直线τ的定向向量为()e m n，，，()P xyz，，为τ上任意一点，据两线共面条件有：
依第3行展开得关于emn、、的齐次线性方程组，
∵e m n、、不为0，
n n≥条情况可归纳为4条情况，有：
命题4：与4条两两异面的直线a，b，c，d都相交的直线可能不有着：若有着，可能有1条，2条或无穷多条.
浅析：设与a，b，c都相交的直线为τ，由命题1，则理由归结为探讨d与τ相交，据命题3，理由又可归结为探讨过a，b，c的二次曲面与直线d公共点个数，这样，就转化成直线方程与二次曲面方程公共解的个数，详证赘述.
至此，已用剖析法以正面完全解决了的交线有着性理由，值得的是上述证明，完全未引用有关直纹曲面性质，这也命题3证法一的独特效用；下面，再谈谈仅用中学立几策略教学论文就可推得的有趣结果，这些结果也似未在一般立几书出现过.
命题5：（4条异面直线定理）有着4条两两异面的直线，使得没任何直线能与它们相交.
证一：（如图3），取正方体
DD两两异面，用反证法证明这4条直线适合命题要求，假设有着一条直线τ与这4线都相交，τ和1AC交于E，现将整个图形绕
1AC旋转0
∩，τ′仍与这4条直线都相交，这样，四条两两异面直线的每条直线都有两点在τ与τ′确定的平面上，这与4线两两异面矛盾，命题得证.
证明十分巧妙运用了旋转变换，简捷直观解决了中学数学看入手的理由.再一次揭示出正方体的美妙性质，让人赏心悦目，值得谈一谈的是证明有深刻的背景：即任
BC必不相交（详证略）.
证明构思也十分巧妙，了探讨立几的思想策略教学论文——平面化.
命题6：任给两两异面3条直线a，b，c，设mnp、、与它们都相交，则：
① a，b，c平行于同平面等价于mnp、、平行于同平面；
② a，b，c不平行于同平面等价于mnp、、不平行于同平面.
浅析：①可用平移法或梅涅劳斯定理的空间推广证之.
②可用反证法.
命题7：有着无穷多条两两异面直线，使得和它们都相交的直线也有无穷多条.
浅析：命题6①及同一法.
命题8：任给3条异面直线a，b，c，有着直线d：
①a，b，c，d两两异面；
②没一条直线和a，b，c，d都相交；
③d有无穷多条.
浅析：分情况（1）当a，b，c平行同平面时，命题6①；（2）当a，b，c不与同平面平行时，可参照命题5的证法二用平面化思想证之.
对命题6，7，8这些乍一看入手的命题，其实命题2，3，4所的剖析法证明，几何证明一渗透几思想，了指导作用，又直观，易被中学生接受，以而了中学教学内容.联赛命题者的用心、理由的背景值得领会学习.内容，可高中课外兴趣小组活动内容，对开拓学生知识面，提高能力有作用.