不等式,函数,基本不等式……及其运用

不等式a+b2≥ab在高中数学中具有极其的地位，以知识系统角度说，不等式本身的数学知识模块，能与高中数学多个分支知识融合；以思维能力角度说，不等式是创造性与严谨性的有机、发散性思维与收敛性思维的辨证统一。，不等式是高中数学系统模块，高考的常见题型及运用载体。

一、不等式与线性规划知识的融合

在高中学习的线性规划知识除本身不等式组确定的系统外，在求线性或非线性函数最值的中会运用到不等式。
题1
已知实数x，y
x-y-2≤0，
x+2y-5≥0，
y-2≤0，求u=x2+y2x+y的取值范围。
（图1）
解：x-y-2≤0，
x+2y-5≥0
y-2≤0表示的平面区域为如图1，
u=x2+y2xy
=x2xy+y2xy
=xy+yx
由图1可知k=yx∈13，2，
得u=k+1k∈2，103。

二、不等式与函数单调性知识的融合

不等式的运用与函数f(x)=x+1x的性质密分，经常函数f(x)=x+1x的性质解决理由。
题2 不等式 log2x+1x+6≤3的解集为。
本题考查的是对数函数单调性和不等式的解法，这样求解：
解：由
 log2x+1x+6≤3= log28，得0∴ x+1x≤2，
x+1x+6>0.
思路

一、解不等式组得x∈(-3-22，-3+22)∪{1}。

当然不等式组的求解是比较烦的，函数f(x)=x+1x的图象与性质，则将会很快地解决这道填空题。
思路

二、函数f(x)=x+1x，

函数y=2与函数y=-6的图象（如图2所示），观察求出不等式的解集
（图2）

三、不等式与三角函数知识的融合

题3 已知△ABC的三边a，b，c所对的角
是A，B，C，且BC边上的高AD=BC，求 cb+bc的取值范围是。
解：
cb+bc≥2cb•bc=2，当且仅当 cb=bc，即b=c时取“=”。
在△ABC中，cosA=b2+c2-a22bc=b2+c22bc-a22bc。
由S △ABC=12bcsinA=12AD•BC=12a2，
∴ a2bc=sinA。
∴ cb+bc=c2+b2bc=2cosA+sinA=5sin(A+φ)≤5
故cb+bc的取值范围是［2，5］

四、不等式运用“相等”理由

在运用不等式解决有关最大值与最小值的理由时，要“一正，二定，三相等”的要求，是“相等”成立的条件。
1x+ay≥9对任意的x，y恒成立，求实数a的最小值。
错解：
∵ x+y≥2xy，
1x+ay≥ 21x•ay=2axy，
∴ (x+y)1x+ay≥2xy•2axy= 4a。
由已知得4a≥9，得正实数a的最小值为8116。
错解的理由是到“=”成立的条件。
正解：
(x+y)1x+ay=1+a+
yx+axy≥1+a+2yx•axy=1+a+2a。
由已知得1+a+2a≥9，得a≥2，故正实数a的最小值为4。
(江苏省兴化中学)
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