探究中学数学分类思想在中学数学教学中运用中国

【摘 要】分类思想是一类重要的数学思想，在教学过程中渗透分类思想，有助于提高学生的思维能力。让学生获得今后的学习和工作中进行继续学习的必备的学习方法和学习能力是教学的核心内容。在教学渗透分类思想，养成分类的意识；学习分类方法，增强思维的缜密性；引导分类讨论，提高合理解题的能力 。都有助于提高教育教学质量，因此教师在教学过程中应加强分类思想的渗透。
【关键词】分类思想；分类方法；提高能力
推行素质教育，培养面向社会的有用人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，以便于获得在今后的学习和工作中进行继续学习的必备的学习方法和学习能力。这是当今教育的主题。数学家乔治·波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路” 。随着课程改革的深入， “应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在中学数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。培养学生的数学思维，关健是转变学生的学习方式，在教学倡导学生的学习方式由他主学习转向自主学习。转变学习方式要以培养创新精神和实践能力为目的。而分类思想对改变学生的学习方式起着一定的作用，通过分类思想在教学中的逐步渗透，能够培养学生从“要我学”向“我要学”的转变。
数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。在中学数学教学中分类思想得到广泛运用，由于运用分类思想解答数学问题，具有较强的逻辑性、综合性和探索性，能反映出学生的思维能力。因此，得到了教师的普遍关注。
所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。在进行分类讨论时，必须要有一定的标准。同时，分类必须做到：不遗漏、不重复。分类后，对各个情况分类进行研究，问题在不同的情况下，分别得到各自的结论。
分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。
教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用

1.渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。
认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。
讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：
例

1、若|a|=3，|b|=5，则|a+b|= 。

分析：碰到有关绝对值的问题时，往往需要去掉绝对值符号，就要根据绝对值的概念进行分类研究。通过分析讨论：a、b同号时和a、b异号时，本题的答案就比较明显了。
例

2、已知x2∈{1，0，x}，求实数x。

分析：则确定性可知x2=0，1，由互异性可知x≠0，1。由于集合中的元素的互异性，因而求集合中的参数的值的问题，必须具有检验的意识。
例

3、判断f（x）=|x+a|-|x-a|（a∈R）的奇偶性。

分析：要注意字母a对函数本身的影响，分为a=0和a≠0两情况加以讨论。
结合中学数学的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不

一、就会出现遗漏、重复等错误。

2.学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的源于：论文格式怎么写www.618jyw.com
关键所在。
就中学数学的教学而言，分类的方法常有以下几种：

2.1 根据数学的概念、定义进行分类讨论

如绝对值、实数的奇偶次方的符号、角所在的象限、概率模型适用的范围、分段函数的求值等。有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。
例

4、m为何值时，二次方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负根。

分析：涉及二次方程根的分布问题，很容易联想到韦达定理，或利用二次函数的图象与二次方程的关系确定参数的取值范围。
例5、从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）
分析：利用分类、分布统计原理确定计算概率的p（A）=m/n中的m、n解决此类问题。

2.2 根据数学的法则、定理或公式的适用范围进行分类

学习一元二次方程 ， 根的判别式时，对于变形后的方程 x2=a，用两边开平方求解，需要分类研究 a>0，a=0，a<0这三种情况对应方程解的情况。而a的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。
例

6、解关于x的不等式：ax+3>2x+a

分析：通过移项不等式化为（a-2）x>a-3的形式，然后根据不等式的性质可分为a-2>0，a-2=0，和a-2<0三种情况分别解不等式。

2.3 根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
例如 ：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是 。
分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD，可知本题有两个结果。
在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在源于：免费论文www.618jyw.com
证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

2.4 涉及由于参数的变化而影响题目的要求，需要对参数进行分类讨论。

例

7、已知关于x的方程为（k-2）x2-2（k-1）x+k+1=0，且k≤3。

求证：此方程总有实数根
分析：（1）k=2时，方程-2x+3=0有实数根x=3/2；k≠2时，一元二次方程的判别式Δ≥0才有实数根，∵Δ=-4k+12，又∵k≤3，∴Δ≥0恒成立，所以方程总有实数根。

3.引导分类讨论，提高合理解题的能力

中学课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。
分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。
参考文献
《全日制义务教育课程标准（实验稿）》.北京师范大学出版社
《初中生学习法与能力培养》任勇
[3] 《数学思想和数学方法》.蔡上鹤
收稿日期：2013-09-11